salut
pour la 3) je pense que k doit etre un multiple de 3
sinon la somme des 1 n'est pas divisible par 3 et donc 3 ne divise pas Nk.

le reste de la division euclidienne de n^2 par 10 est 1.
donc n^2=10*Q+1 ou Q est un entier.
or n=10*S+T avec 0=<T<10 (division euclidienne de n par 10.(S et T sont uniques)
n^2=(10*S+T)^2=10*(10S^2+2*S*T)+T^2
et le reste de la division euclidienne de T^2 par 10 est 1.(car celui de n^2 est 1)
T est compris entre 0 et 9.
T=0 T^2=0 non
T=1 T^2=1 oui
T=2 T^2=4 non
T=3 T^2=9 non
T=4 T^2=16 non
T=5 T^2=25 non
T=6 T^2=36 non
T=7 T^2=49 non
T=8 T^2=64 non
T=9 T^2=81 oui

donc n se termine par un 1 ou un 9.

b) n se termine par un 1 ou un 9
1 er car n se termine par un 1.
division euclidienne de n par 10.
il existe Q entier naturel tel que n=10*Q+1
Q=m.
2 eme cas n se termine par un 9.
division euclidienne de n par 10
il existe Q entier naturel tel que n=10*Q+9
or 10-1=9
donc n=10*(Q+1)-1
Q+1=m
c)
1 er cas n=10m+1
n^2=100m^2+20m+1=20*(5*m^2+m)+1
donc n^2 congru a 1 modulo 20.
2eme cas n=10m-1
n^2=100m^2-20m+1=20*(5m^2-m)+1
donc n^2 congru a 1 modulo 20.
dans les 2 cas n^2 congru a 1 modulo 20

5a)
remarque pour comprendre la suite.
soit k un entier assez grand
Nk=1+10+100+1000+10000+....
or 100 est congru a 0 modulo 20
et il en est de meme pour 1000,10000,...
donc Nk est congru a (1+10)=11 modulo 20 et ce pour k>=2.
b) raisonnement par l'absurde : on suppose qu'un rep-unit Nk distinct de 1 est un carre.donc k>=2.
d'apres 4) Nk est congru a 1 modulo 20.
or 5a) nous dit que pour k>=2 Nk congru a 11 modulo 20.
contradiction. d'ou le resultat.

6)
Nk=1+10+10²+...+10^(k-1)=(10^k-1)/(10-1)
Nk est la somme des k premiers termes de la suite geometrique de raison 10 et de premier terme 1.
Nk=(10^k-1)/9
9*Nk=10^k-1.

7)
k=    10^k= (modulo 7)
1      3
2      2
3      6
4      4
5      5
6      1
7      3
8      2


10^k congru a 1 modulo 7.
raisonnement par l'absurde k n'est pas un multiple de 6.
k=6*m+q ou m entier naturel et q compris entre 1 et 5.
10^k=(10^6)^m * 10^q
or 10^6 est congru a 1 modulo 7 et 10^q est congru a 3,2,6,4,5.

contradiction.

donc on a l'implication.

on reagarde la reciproque k=6*q

10^(6q)=(10^6)^q
donc comme 10^6 congru a 1 modulo 7 on a (10^6)^q congru a 1 modulo 7.

d'apre ce qui precede + 6 on a l'equivalence.
en effet
si 7 divise Nk alors 7 divise 10^k-1 (car 9Nk=(10^k) -1) (d'apres 6)
donc 10^k-1=7*q donc 10^k=7*q+1 donc 10^k est congru a 1 modulo 7 donc k multiple de 6.

si k est multiple de 6 alors 10^k congru a 1 modulo 7
donc il existe q entier naturel 10^k-1=7*q
or 9*Nk=10^k-1
donc 9*Nk=7*q
7 divise 9*Nk
or 7 et 9 sont premiers entre eux donc 7 divise Nk.

voila.bye.