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devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometriques

Posté par
Kathy_miss080 26-12-09 à 21:39

bonsoir ! svp , j'aurais besoin d'aide pour resoudre cet exercice svp .

x et y etant deux nombres reels de l'intervalle [0; ], on considere le systeme d'equations (S):
{cos x cos y = (3+1) /4     ; sin x sin y = (3-1) /4 }

1)demontrerque le systeme (S) est equivalent au systeme suivant :
{cos(x+y) = 1/2    ;  cos(x-y) = 3/2  }

2) resoudre (S)

merci d'avance pour votre aide

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 27-12-09 à 08:39

Bonjour,

1)Tu appliques les formules : cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb   et   cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb.

2) Comme 0 x et 0 y , on a : 0 x + y 2

et comme 0 x et - -y 0, on a : - x - y

Tu détermines les valeurs de (x + y) et de (x - y) en résolvant séparément les équations proposées dans leurs intervalles respectifs.

Tu trouveras enfin x et y en résolvant ce dernier système.

Posté par
Kathy_miss080devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometriques 28-12-09 à 20:39

je comprends le principe mais je fais un blocage au niveau du calcul.en fait je ne sait pas exactement comment agencer les differentes etapes de resolution.svp,aidez moi.

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 29-12-09 à 10:07

On a : cos(x + y) = cosx.cosy - sinx.siny   et   cos(x - y) = cosx.cosy + sinx.siny.


1 )Il fait démontrer que les systèmes sont équivalents.

\textrm\{{cosx cosy = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}\atop sinx siny = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \textrm\{{cosx cosy - sinx siny = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}\atop cosx cosy + sinx siny = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \textrm\{{cos(x + y) = \frac{1}{2}\atop cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2}


2) Ne tenons pas compte de ma 2ème remarque. Elle est trop restrictive.

Résolvons la première équation : cos(x + y) = \frac{1}{2}

cos(x + y) = cos(\frac{\pi}{3})

x + y = \textrm\frac{\pi}{3} + k.2\pi ou x + y = \textrm-\frac{\pi}{3} + k.2\pi

Résolvons la 2ème équation : cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos(x - y) = cos(\frac{\pi}{6})

x - y = \textrm\frac{\pi}{6} + k.2\pi ou x - y = \textrm-\frac{\pi}{6} + k.2\pi

Tu as ainsi 4 systèmes de deux équations à 2 inconnues en prenant une équation en (x + y) et une autre en (x - y).

Ces systèmes se résolvent assez simplement en additionnant membre à membre les équations pour trouver x et en soustrayant membre à membre pour trouver y.

Tu veux bien essayer ?

Posté par
Kathy_miss080devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometriques 30-12-09 à 17:16

j'ai essayer mais c'est vraiment tres long !!!! je  ne sais pas comment le faire plus simplement et en plus je m'embrouille !!!!! svp . et je ne sais pas comment presenter la solution .

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 30-12-09 à 17:51

Il faut bien commencer !


Voici le 1er système :

3$\textrm\{{x + y = \frac{\pi}{3} + k.2\pi \atop x - y = \frac{\pi}{6} + k.2\pi

Tu additionnes membre à membre et tu soustrais membre à membre.

Tu as alors ce système

3$\textrm\{{2x = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \atop 2y = \frac{\pi}{6} + k.2\pi

3$\textrm\{{x = \frac{\pi}{4} + k.\pi \atop y = \frac{\pi}{12} + k.\pi

Comme 0 x et 0 y , on a 3$\textrm\{{x = \frac{\pi}{4}\atop y = \frac{\pi}{12}

A toi de continuer ...

Posté par
Kathy_miss080devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometriques 30-12-09 à 21:46

merci beaucoup, j'ai reussi a finir l'exercice, merci beaucoup.

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 08:10

En définitive, pour les 4 systèmes, j'obtiens comme solutions :

3$\textrm\{{x = \frac{\pi}{4}\atop y = \frac{\pi}{12}

3$\textrm\{{x = \frac{11\pi}{12}\atop y = \frac{3\pi}{4}

3$\textrm\{{x = \frac{\pi}{12}\atop y = \frac{\pi}{4}

3$\textrm\{{x = \frac{3\pi}{4}\atop y = \frac{11\pi}{12}

Donc l'ensemble des solution est 3$\textrm S = \{ (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{12}), (\frac{11\pi}{12} ; \frac{3\pi}{4}) , (\frac{\pi}{12} ; \frac{\pi}{4}) ; (\frac{3\pi}{4} ;\frac{11\pi}{12})\}

Posté par
Kathy_miss080re : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 16:36

:?:? !!! oh oh!!! je crois que tout compte fait,j'ai pas exactement compris, comment avez vous effectue les calculs??????? svp .

Posté par
Kathy_miss080re : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 17:15

je ne comprends pas comment vous avez trouve les solutions des 2e et 4e systemes.moi je trouve pour le 2e systeme x= -/4 et y=-/12
et pour le 4e systeme je trouve x=-/12 et y=-/4 .
A quel niveau se trouve mon erreur ???

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 17:43

Voici le 2ème système :

3$\textrm\{{x + y = \frac{-\pi}{3} + k.2\pi \atop x - y = \frac{\pi}{6} + k.2\pi

Tu additionnes membre à membre et tu soustrais membre à membre.

Tu as alors ce système

3$\textrm\{{2x = \frac{-\pi}{6} + k.2\pi \atop 2y = \frac{-\pi}{2} + k.2\pi

3$\textrm\{{x = \frac{-\pi}{12} + k.\pi \atop y = \frac{-\pi}{4} + k.\pi

Comme 0 x et 0 y , on a 3$\textrm\{{x = \frac{-\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}\atop y = \frac{-\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}


Voici le 4ème système :

3$\textrm\{{x + y = \frac{-\pi}{3} + k.2\pi \atop x - y = \frac{-\pi}{6} + k.2\pi

Tu additionnes membre à membre et tu soustrais membre à membre.

Tu as alors ce système

3$\textrm\{{2x = \frac{-\pi}{2} + k.2\pi \atop 2y = \frac{-\pi}{6} + k.2\pi

3$\textrm\{{x = \frac{-\pi}{4} + k.\pi \atop y = \frac{-\pi}{12} + k.\pi

Comme 0 x et 0 y , on a 3$\textrm\{{x = \frac{-\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}\atop y = \frac{-\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}

Posté par
Kathy_miss080re : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 17:52

je ne comprends pas ce que tu entends par additionner et soustraire membre a membre, serieux, je suis perdue!

Posté par
Hiphigeniere : devoir de vacances sur les systemes d'equations trigonometr 31-12-09 à 17:59

Cela veut simplement dire additionner les membres de gauche des deux équations ensemble et additionner les membres de droite ensemble. Pour soustraire, c'est la même chose.

En simplifiant , si tu as les égalités a = b et c = d, additionner membre à membre signifie : a + c = b + d


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