Bonjour,
Je coince aux questions 2 ; 4b ; 5 c et d
Voici l'énoncé :
On appelle planche de longueur n une planche découpée en n carrés unité.
On veut paver les planches de longueur n avec des carrés unité bleus ou rouges et des dominos (constitués de deux carrés accolés) verts. On note u_n le nombre de façons différentes de paver une planche de longueur n. Les pavages de la planche de longueur 2 ci-dessous montrent que u₂ = 5 :
RR  RB  BB  BR  VV

1) Vérifier que u₁ = 2 et déterminer u₃ : RAS
>>>>Pour u₁ : R ou B donc u₁ = 2
>>>>Pour u₃ : RRR RBR BBR BRR VVR RRB RBB BBB RRB VVB RVV BVV donc u₃ = 12

2) Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n 3 , on a la relation suivante : u_n = 2u_n-1 + u_n-2.
?????

3) Reproduire et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche u_n en sortie : RAS
Entrée
  Saisir n
  a prend la valeur 2
  b prend la valeur 5
Traitement
  Pour i allant de 3 à n
    c prend la valeur …   >>>> 2b + a
    ……………………………   >>>> a prend la valeur b
    ……………………………   >>>> b prend la valeur c
  FinPour
Sortie
  Afficher …   >>>> c

Faire tourner l'algorithme pour n=5 (présenter les résultats sous forme d'un tableau).

étape n a   b   i   c
1       5         
2       5 2        
3       5 2   5     
4       5 2   5   3   
5       5 2   5   3 12
6       5 5   5   3 12
7       5 5   12 3 12
4       5 5   12 4   
5       5 5   12 4 29
6       5 12 12 4 29
7       5 12 29 4 29
4       5 12 29 5   
5       5 12 29 5 70
6       5 29 29 5 70
7       5 29 70 5 70
8       5 29 70    70
9       5              70


4) On considère pour tout entier naturel n2,
la matrice colonne X_n = (u_n
                                   u_n-1)
a) Déterminer la matrice A carrée d'ordre 2 telle que X_n = A X_n-1 : RAS
>>>>
A = (2   1
       1   0)


b) Montrer que pour tout entier naturel n2 , X_n = A^(n-2)X₂
?????

5) Soit P = (1+2       1-2
                     1              1     )  
a) Justifier que P est inversible et déterminer P^-1 : RAS
>>>>
ad-bc = (1+2) x 1 - (1-2) x 1 = 1+2 - 1+2 = 22 0 donc P est inversible.
>>>>
P^-1 = 1/(ad-bc) x (1   -1+2
                            -1   1+2)
p^-1 = ((2)/4     (2-2)/4
           (-2)/4    (2+2)/4)


b) Calculer D=P^(-1)AP : RAS

D = (1+2     0
       0        1-2)


c) Etablir que pour tout entier naturel n, on a : A^(n) = PD^(n)P^(-1).
?????

d) En déduire l'expression de u_n en fonction de n. Vérifier pour n = 5.
?????

Merci d'avance pour votre aide et à bientôt !!