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Diagonalisation avec paramètre
Bonsoir à tous !
Voici ma matrice A :
/ 2 
3 \
| 0 2 |
\ 0 1 2 /
Question principale :
Pour quelles valeurs de , A est-elle diagonalisable ?
Alors pour cela, je sais qu'il faut calculer det(A-
I). Mais après que faire ? D'ailleurs je tombe sur un polynôme totalement dénué de sens.. 
Questions subsidiaires :
1. Donner le rang de A en fonction de
2. Sous quelle condition peut-on affirmer que B
Im(A) ? Avec B un vecteur tq B = (1;2;1)
Pour celles-ci, j'ai trouvé qu'il fallait poser : Rang(A) = taille de la matrice où son déterminant est différent de 0. Et j'ai trouvé, si 
3/2, alors rang = 3. Et ensuite ? Que faire pour la question 2. et la fin de la question 1. ?
Un grand merci d'avance 
Bonjour, Mantis
Je suppose que ta matrice est à coefficients dans R et qu'on te demande d'étudier la diagonalisabilité dans M_3(R). Dans ce cas ton polynôme caractéristique vaut:
Il n'est pas difficile de voir que le discriminant du trinôme du second degré qui intervient ci-dessus vaut et est toujours strictement positif. On peut vérifier aussi que x=2 n'est pas racine du trinôme du second degré
.
Donc, le polynôme caractéristique admet trois racines distinctes, ce qui prouve que la matrice A est diagonalisable.
En ce qui concerne le rang de A, tu as sans doute fait une erreur puisque le déterminant de A vaut 4a-4 et qu'il est non nul pour a différent de 1.
Pour a=1, il est facile de vérifier que le rang de la matrice A vaut 2.
Enfin, pour la deuxième quesion subsidiaire, lorsque le rang de la matrice A vaut 3, tout vecteur B est dans Im A. Il ne reste plus qu'à étudier le cas où alpha=1, et on vérifie que B ne peut pas appartenir à Im A (un vecteur de l'image de A ayant forcément ses coordonnées y et z égales).
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