j'ai refais le calcule de P_A(x) j'obtiens la même chose.
donc les 2 autres valeurs propres sont:
x₁=(k+1-(k²-2k+9)^1/2)/2
x₂=(k+1+(k²-2k+9)^1/2)/2
pour la question 4
x₁= x₂ si =0
donc si k=12(2) i
je n'arrive pas a résoudre
le cas où x₁ =3
et le cas où x₂=3.
Comment dois-je faire?
merci pour vos réponses

Bonjour
pour la première question, tu peux calculer le déterminant de A : s'il est non nul, f est bijective et son noyau a pour dimension 0.
Dans les éventuels quelques cas où il est nul, tu n'auras qu'à résoudre f(X)=0E pour trouver la dimension du noyau

merci pour ta réponse

j'obtiens donc pour la question 1:
det A 0 si k2 donc ker (A) = 3
pour k=2 det A = 0
or det (2  -1) 0
       -1  2
donc ker A = 2

Est ce cela?
par contre pour la question 4 je ne vois pas. Pourriez vous m'aider?
merci d'avance

si dét différent de 0, le noyau est de dimension 0 car réduit au vecteur nul !
Pour k=2, tu remarques sur la matrice que f(e1)+f(e2)=f(e3), donc e1+e2-e3 est dans le noyau, et f(e1), f(e2) ont des coordonnées non proportionnelles donc sont non colinéaires donc forment une famille libre de l'image : il ne reste qu'une dimension pour le noyau
Dans ta rédaction, fais bien attention à ne pas confondre l'espace vectoriel ker f avec sa dimension !

Pour la question 4, tu regardes les racines de ton polynôme caractéristique ....

pour la question 4
il n'existe pas de k tel que x₁=3 et x₂=3

donc il ne peut y avoir une valeur propre double que quand k=12(2) i a ce moment là x₁=x₂

Est ce cela? merci pour vos réponses

Bonjour, audreys18

Il existe une valeur de k pour laquelle x_1=3 ou x_2=3. On pose x=3 dans q(x)=x²-x(k+1)+k-2.
On obtient q(3)=4-2k.
3 est donc racine de q pour k=2.

merci pour ta réponse
en résumé il y a 1 valeur propres triple (la valeur3) pour k=2 (a ce moment là x₁=3 = x₂)

pour k=12(2) il y a une valeur propre double (à ce moment là x₁=x₂)

Est ce cela?

Non.

Pour k=2, il y a une valeur propre double (égale à 3) et une valeur propre simple (égale à 0).

je vous donné ce que j'ai compris (je pense que c'est faux en partie)

* si x₁=3 (avec x₁ = (k+1-(k²-2k+9)^1/2)/2)
donc (-3²+3(k+1)-k+2 = 0
2k-4=0
k=2
si k=2 x₂=3 avec x₂=(k+1+(k²-2k+9)^1/2)/2
donc 3 est valeur propre triple.

* si x₂=3
donc (-3²+3(k+1)-k+2 = 0
2k-4=0
k=2
si k=2 x₁=0
donc 0 est valeur propre simple et 3 est valeur propre double

* si x₂ =x₁
  x²-x(k+1)+k-2=0
k=12(2)i
donc 3 est valeur propre simplet et 12(2)i est valeur propre double.

Est ce juste?
merci d'avance pour vos réponses et votre patience!!!

L'étude du cas où x_2=x_1 est correcte. Je ne reviens pas dessus.

Par contre, l'étude du cas où x_1=3 ne l'est pas. Ce qu'il faudrait résoudre, c'est:



donc:



donc

   et  

donc:

k=2   et   k-5 < 0   Pas de solution


Maintenant, pour résoudre l'équation x_2=3, c'est la même idée. Elle te permettra de trouver qu'il y a une possibilité,  k=2.


L'idée que je t'avais exposée dans un de mes post précédents, c'est de résoudre le système:

x_1=3  ou  x_2=3

parce que ce système (compliqué en apparence) est équivalent au fait que 3 est racine du polynôme  x²-x(k+1)+k-2


Résumons l'étude de la quatrième question:
Il y a exactement trois valeurs de k pour lesquelles on obtient des valeurs propres multiples.
Pour ces trois valeurs de k, il y a une valeur propre double et une valeur propre simple

Excuse moi d'insister mais il y a quelque chose que je ne compreds pas.
si x₁=3 on dois résoudre
k+1 - (k²-2k+9)=6
donc on trouve k=2 là j'ai compris
au niveau de valeur propres ca coince un peu on a la valeur propre indépendente de k : 3 la valeur propre x₁=3
et donc on calcule x₂ quand k=2?
si c'est le cas j'obtiens x₂=3
donc j'ai 3 valeur propre triple.
Est ce juste?

pour le cas ou x₂=3
k+1 + (k²-2k+9)=6
donc on trouve k=2
la valeur propre indépendante de k est 3 la valeur propre x₂=3
et la quand je calcule x₁=0
donc 3 est valeur propre double et 0 valeur propre simple là ça marche.
merci pour vos réponse

Relis mon post.
Pour x_1=3, il n'y a pas de solution, parce que k doit vérifier les deux conditions k=2 et . J'avais fait une petite erreur dans ma frappe au clavier parce que j'avais écrit:

k=2   et   k-5 < 0   Pas de solution

alors qu'il fallait lire:

k=2   et       Pas de solution

merci beaucoup pour tes explications.
Pour la question 5
pour les 3 valeurs de k il faut calculer les espaces propres associ au valeur propre ensuite trouver leur dimension et si la somme des dimension des espaces propres est égale a la dimension de  la matrice alors celle ci est diagonalisable.
Est ce cela?
merci pour vos réponses

Oui, c'est cela.
Il n' y plus qu'à faire les calculs.

Bonjour,
je trouve que pour les 3 valeur de k la matrice n'est pas diagonalisable (ça m'étonne un peu)

je vous détail ce que j'obtiens

  * k=2
E₃={X=(x,y,z) verifiant le système:
-2y+2z=0
x+y-z=0}
E₃=vect {(0,1,1)}
or dim E₃=1<2 l'ordre de multiplicité de la valeur propre 3
donc la matrice n'est pas diagonalisable

   * k=1+2(2)i
E₃={X=(x,y,z) verifiant le système:
-2y+2z=0
(-2+2(2)i)y+z=0
x+y-z=0}
E₃={(0,0,0)} et dim E₃=1 (= ordre de multiplicité de la valeur propre 3)

E_1+2(2)i= {X=(x,y,z) verifiant le système:
-2y+2(2)i z=0
z=0
x+y+(1-2(2)i) z=0}
E_1+2(2)i=vect{(0,0,0)} donc  dim E_1+2(2)i=1<2 l'ordre de multiplicité de la valeur propre 1+2(2)i

la matrice n'est pas diagonalisable

   * k= 1-2(2)i
E₃={X=(x,y,z) verifiant le système:
-2y+2z=0
(-2-2(2)i)y+z=0
x+y-z=0}
E₃={(0,0,0)} et dim E₃=1 (= ordre de multiplicité de la valeur propre 3)

E_1-2(2)i= {X=(x,y,z) verifiant le système:
-2y-2(2)i z=0
z=0
x+y+(1+2(2)i) z=0}
E_1-2(2)i=vect{(0,0,0)} donc dim E_1-2(2)i=1<2 l'ordre de multiplicité de la valeur propre 1-2(2)i

la matrice n'est pas diagonalisable

Est ce cela?

Bonjour
je ne lis pas le détail, mais il y a forcément des erreurs : un vecteur propre est par définition non nul, donc un espace propre ne PEUT PAS être réduit au vecteur nul....
De plus, dim{(0,0,0)}=0 et pas 1....

bonjour j'ai trouvé mon erreur et donc j'ai trouvé que quand k=2 la matrice est diagonalisable.
Merci a tous pour vos explications et votre patience.