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Diagonalisation d'une matrice symétrique
Soit A une matrice symétrique d'ordre 3, ayant pour valeurs propres 0 (simple) et 1 (double)
Sachat que [ 2 2 -1]t est un vecteur propre associé à la valeur propre de 0, donner P telle que PtAP est diagonale.
Alors je me demandais c'était quoi la démarche en arrière de sa vu qu'on ne connais pas la matrice A
Est-ce qu'on peut aller chercher deux vecteurs tant et aussi longtemps qu'ils sont orthogonaux entre eux?!
Est -ce que P = [1 , -1 , 0 ; -1 , 1 , 0 ; 2 , 2 , -1 ] est valide?
Bonsoir.
A étant symétrique réeelle, on sait qu'elle est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Ici, le sous-espace propre E(0) étant la droite engendrée par u = (2,2,-1), le sous-espace propre E(1) sera le plan vectoriel orthogonal à u.
Donc, E(1) est le plan (P) d'équation 2x + 2y - z = 0
Pour construire deux autres vecteurs propres v et w, il suffit de prendre deux vecteurs indépendants dans (P).
En outre, pour que P soit orthogonale (tP = P-1), il faut que v et w soient orthogonaux et que u, v, w soient de norme 1.
Y a-t-il un moyen efficace pour trouver ses vecteurs manquants ou bien il faut y aller par essaie/erreur?
disons que j'ai le plan 2x+2y-z=0 qu'est-ce que je doit faire pour trouver ses vecteurs propres ..il en a plein qui sont indépendants ...ça peut être (1,-1,0) et (-1,1,0), ca pourrait être (-1,2,2) et (2,-1,2) c'est quoi qui me fiat dire que l'un est meilleur que l,autre? Il vaut que je vérifie si la matrice P est orthogonale à chaque fois que je trouve une option...ca peut être long ? non?
Tu en prends un quelconque, tu calcules sa norme pour le diviser par elle et en avoir un normé, puis tu cherches le suivant 1) vérifiant 2x + 2y - z = 0
2)orthogonal au précédent
3) normé
tu n'en trouveras que deux, opposés l'un de l'autre : tu choisis celui qui te revient le mieux
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