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Diagonalisation des matrices dans des bases orthonormales
Bonjour !
Pouvez-vous s'il vous plait m'expliquer comment montrer que le système de vecteurs suivants forment une base orthonormale. {}v1=(1/
2,-12,0);v2=(1/3,1/3,1/3);v3=(1/6,1/6,-2/6).
Il y a la méthode basique devérifier que ce système forme un système libre et générateur de R3, puis de montrer que les vecteurs sont normés. Mais n'existe-t-il pas une autre méthode qui consisterait à troouver une matrice diagonale dans cette base ?
Par avance je vous remercie pour vos explications.
Elotwist
Bonjour elotwist
Il suffit de montrer que les vecteurs sont normés et deux à deux orthogonaux.
Inutile de montrer "libre et générateur"
pourquoi le simple fait de montrer qu'ils sont orthogonaux entraine que c'est une base orthogonale ?
Une famille de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux est toujours libre. Si, en plus, le nombre de ses vecteurs est égal à la dimension de l'espace, c'est donc une base.
Il en résulte donc qu'une famille orthonormale de 3 vecteurs en dimension 3 est une base (orthonormale, bien sûr).
ah d'accord ! merci !
Un autre souci de méthode...
j'ai une matrice
A = 5 -1 2
-1 5 2
2 2 2
1-Pour montrer que les vecteurs v1=(1,1,-2) v2=(1,-1,0) et v3=(2,0,1)sont des vecteurs propres, j'ai cherché le polynome caractéristique qui est :-X(6-X)² et j'ai vérifié que A.V1=0,A.V2=6V2 et Av3=6v3.
2-Pour diagonaliser A, j'ai juste dit que
A = 6 0 0
0 6 0
0 0 0
3-Comment faire pour interpréter géométriquement l'endomoorphisme représenté par A ?
Bonjour
L'endomorphisme repreésenté par A consiste à projeter un vecteur sur le sous-espace engendré par (v2,v3) parallèlement à v1 puis à lui faire subir l'homothéte de rapport 6.
Si tu te places dans la base (v1,v2,v3) la matrice commence par 0 et finit par 6. (je n'ai pas refait les calculs)
comment le voit-on ?
qu'est ce qui faut faire pour réussir à voir cela ?
Sinon mon raisonnement pour le reste est juste ?
Le reste est juste, modulo la matrice diagonale!
Tout simplement si on a
et ceci veut bien dire que l'on projette sur (v2,v3) et que l'on fait une homothétie!
ok merci beaucoup !
Dans un autre problème, j'ai E un espace de dimension 4 et B={e1,e2,e3,e4}une base orthonormale.
a et b sont des vecteurs tels que a= e1 + e2 +e3 +e4 et b =2 e2 +3 e4
Je dois déterminer la matrice par rapport à B de la projection orthogonale sur le sous espace engendré par a et b.
Comment faire pour visualiser cette projection ?
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