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Diagonalisation (exo bac+22)

Posté par
Takup 20-12-11 à 14:39

  Bonjour, je suis en 2nde année de License de Physique. Je commence mes révisions pour les partiels de fin de semestre et j'aurais besoin d'un peu d'aide pour une annale qui me pose un peu de probleme.

EXERCICE:
Soit la matrice: -4  -2  -2
                         2   0   2
                         3   3   1

1) calculer le polynome caracteristique P de A?
(la j'ai trouvé Pa()= -3-32+4

2) Calculer ses valeurs propres?
(j'ai trouvé 1=1 et 2=-2

3) Déterminer les sous-espaces propres associés aux valeurs propres?
(la je trouve E(1) : (x,-x,-3x/2) pour tout x appartenant à ,
               et E(-2): x+y+z=0                                             )

4) Donner un raison selon laquelle A est diagonalisabe?
( la je bloque)



Merci d'avance.

Posté par
Takupsuite 20-12-11 à 14:46

Ah oui, aussi on me demande les dimensions des sous espaces propres.

Je pense que E(1) est de dimensions 3 et que E(-2) est de dimension 1 mais je suis pas sur de ma réponse.

Posté par
Surbre : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 15:11

Bonjour,
....
E(1) est de dimension 1,
E(2) est de dimension 2,
(à montrer!)

Après tu as plusieurs possibilités pour montrer que c'est diagonalisable (cela dépend des théorèmes de ton cours). En effet le fait que dim(E(1)) + dim(E(2)) = dim(R^3) est une condition suffisante. Sinon tu peux chercher une base de vecteurs propres et créer la matrice P de changement de base et vérifier que A = PDP^{-1} où D est une matrice diagonale.

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 15:23

\[\begin{array}{l} \\ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - 4}&{ - 2}&{ - 2}\\ \\ 2&0&2\\ \\ 3&3&1 \\ \end{array}} \right)\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - 4 - \lambda }&{ - 2}&{ - 2}\\ \\ 2&{ - \lambda }&2\\ \\ 3&3&{1 - \lambda } \\ \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - 4 - \lambda }&{ - 2}&0\\ \\ 2&{ - \lambda }&{2 + \lambda }\\ \\ 3&3&{ - 2 - \lambda } \\ \end{array}} \right|\\ \\ \Rightarrow p\left( \lambda  \right) =  - {\left( {2 + \lambda } \right)^2}\left( {\lambda  - 1} \right) \\ \end{array}\]

Posté par
Takupune petite question... 20-12-11 à 16:13

d'accord, merci beaucoup mais comment on fait pour trouver les dimensions des sous espaces propres? Parce que je pensais avoir juste mais en fait j'ai tout faux --"

(PS: mes sous-espaces sont bon?)


merci pour vos reponses!

Posté par
Surbre : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 18:01

Oui, il me semble que tes espaces propres sont bons.
Quant à la dimension, je te rappelle que la dimension d'un espace vectoriel est donnée par la cardinalité de sa base (le nombre de vecteurs différents qu'il y a dans la base).

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 18:42

x vecteur propre associé à valeur propre
c'est -à-dire  \[Ax = \lambda x \Rightarrow \left( {A - \lambda {I_3}} \right)x= 0\]

doc si:\[\lambda  = 1 \Rightarrow \left( {A - {I_3}} \right)x = 0 \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - 5}&{ - 2}&{ - 2}\\ \\ 2&{ - 1}&2\\ \\ 3&3&0 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ a\\ \\ b\\ \\ c \\ \end{array}} \right) = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ 5a + 2b + 2c = 0\\ \\ 2a - b + 2c = 0\\ \\ a =  - b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ 9a + 6c = 0\\ \\ a =  - b \\ \end{array} \right.;x = \left( \begin{array}{l} \\ 1\\ \\ - 1\\ \\ - \frac{3}{2} \\ \end{array} \right)\]

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 18:43

\[{E_1} = \left\langle {\left( \begin{array}{l} \\ 1\\ \\ - 1\\ \\ - \frac{3}{2} \\ \end{array} \right)} \right\rangle ;\dim {E_1} = 1\]

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 18:58



\[\lambda  =  - 2 \Rightarrow \left( {A + 2{I_3}} \right)x = 0 \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}\\ \\ 2&2&2\\ \\ 3&3&3 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ a\\ \\ b\\ \\ c \\ \end{array}} \right) = 0\]


\left[ {\begin{array}{*{20}c} \\    { - 2} & { - 2} & { - 2}  \\ \\    { 2} & { 2} & { 2}  \\ \\    { 3} & { 3} & { 3}  \\ \\ \end{array}} \right] = {\bf{0}} \Rightarrow a  =  - b  - c  =  - t - s


\Rightarrow E_2  = \left\{ {t\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}c} \\    { - 1}  \\ \\    1  \\ \\    0  \\ \\ \end{array}} \right]}_{b_1 } + s\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}c} \\    { - 1}  \\ \\    0  \\ \\    1  \\ \\ \end{array}} \right]}_{b_2 }:t,s\, \in \, \mathbb R } \right\}

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 19:00

\[{E_2} = \left\langle {{x_1} = \left( \begin{array}{l} \\ - 1\\ \\ 1\\ \\ 0 \\ \end{array} \right);{x_2}\left( \begin{array}{l} \\ - 1\\ \\ 0\\ \\ 1 \\ \end{array} \right)} \right\rangle ;\dim {E_2} = 2\]

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 19:00

A diagonalisable

Posté par
Surbre : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 19:43

Sabga:: Je crois volontiers que tu sais diagonaliser une matrice, après je suis peut être pas totalement convaincu que de le faire à la place de Takup lui apprendra comment le faire et lui permettra de comprendre où sont ses difficultés (et si tu as envie de t'entraîner, il n'est pas très difficile de trouver des exercices sur le sujet). Cela étant, ça reste un avis personnel.

Posté par
gui_toure : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 19:45

Bac +22 , et ben !

Posté par
sabagare : Diagonalisation (exo bac+22) 20-12-11 à 20:33

désole ; je ne compris bien que tu veux (j'ai quelque manque au français)
mais je vous donne cette règle:  
Si une matrice  de taille nn admet  valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable


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