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[Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2

Posté par
Julot777 24-05-11 à 22:24

Bonsoir je cherche un exercice d'oral, qui me pose quelques problèmes, voici l'énoncé :

Citation :
Soit M une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels, telle que M2+2I2=0 et tMM=MtM.
Montrer que tMM est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Trouver un polynôme de degré 2 annulateur de tMM, en déduire son spectre, puis que 2$\frac{1}{\sqrt{2}}M est orthogonale.
Trouver les matrices M satisfaisant aux conditions de l'énoncé.


Voici ce à quoi j'arrive :

***Montrer que tMM est diagonalisable :

On a t(tMM) = tMt(tM) = tMM

Donc tMM est symétrique, donc tMM est diagonalisable.

***Montrer que les valeurs propres de tMM sont positives ou nulles :

Là je vois pas trop comment faire... En gros il faut que je montre que tMM est définie positive ? Donc que M est inversible ? Mais je sais pas si c'est suffisant comme démonstration, et surtout je vois pas trop comment rédiger...

Si vous avez des pistes, je les prends avec grand plaisir

En vous remerciant d'avance !

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:29

^tMM est symétrique réelle donc il existe une base de  diagonalisation un peu spéciale pour cette matrice non ?

Posté par
Supernickre : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:35

M admet un polynome annulateur scindé à racines simple, elle est donc diagonalisable dans M3(C) sous la forme ...

tM commute avec M donc M et tM sont codiagonalisables et ont même la même matrice dans cette base qui est...

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:37

Salut Olivski, effectivement, elle est symétrique réelle, donc il existe une base orthogonale dans laquelle tMM est diagonale... Ca suffit à dire que les valeurs propres sont positives ?

Posté par
yann63re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:42

Non! Il faut aussi ^tMM positive.

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:47

Salut Supernick et yann63

@Supernick : il me semble qu'on ne cherche pas à étudier la diagonalisabilité de M mais de tMM, le polynôme annulateur de M importe peu, non ? Ou alors j'ai mal compris...

@yann63 : comment on sait que tMM est positive sans connaître explicitement M ?

Posté par
Supernickre : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:48

Julot je pense pas qu'il faille raisonner comme je l'ai fait sinon on saute 2-3 questions dans ton exo :p

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:51

Ok Supernick dans ce cas, on est d'accord pour la diagonalisabilité de tMM ? Par contre, devant un correcteur, est-ce que c'est suffisant de dire tMM symétrique réelle positive (j'ai un doute pour le "positive", je vois pas comment le prouver), donc les valeurs propres sont positives ?

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:52

Hmmm nan. Moi je dirais quelque chose de ce gout là :

Montrons que ^tMM \in S_n^+ \mathbb{R} :

^tX^tMMX \geq 0 pour tout X \in M_{n,1} donc ^tMM \in S_n^+ \mathbb{R},

Ainsi on peut écrire:
Soit \lambda une valeur propre et X un vecteur propre associé à cette valeur propre alors on a :
0 \leq <X|^tMMX>=<X| \lambda X>= \lambda <X|X>=\lambda

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:55

désolé pour ma lenteur, ce message allait après le mien....il ne tiens pas compte de tout ce que Supernick a dit

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:57

sinon pour la base un peu spéciale, je l'ai prise orthormale.

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:58

orthonormale (désolé)

Mais si SuperNick peut confirmer ce que j'ai fait (il a l'air de mieux s'y connaitre que moi )

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:58

Ok pour ton raisonnement Olivski, merci, par contre pourquoi tXtMMX = t(MX)MX \geq 0 ??

Posté par
yann63re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 22:58

Pose M=(a_{i,j})_{i,j} et prends X=(a,b) puis calcul ^tX^tMMX. Tu seras rassuré.

Posté par
Supernickre : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:00

Sinon en dimension 2, tu sais que tr(tMM) >= 0 (produit scalaire) et det(tMM) = det(M)² >= 0

Donc les valeurs propres sont forcément positives



Olivski je sais pas si je connais mieux que toi je suis en spé comme l'auteur

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:02

Oui comme ça ça peut parraitre sorti d'ailleurs, essaye comme te le dis yann63 avec des ^tMM une matrice 3x3 et X une matrice M_{3,1}(\mathbb{R}) pour t'en convaincre.

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:03

Ah la deuxième démo est jolie !!! (pour la trace et le déterminant positifs !)

Posté par
yann63re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:05

C'est vrai qu'elle est pas mal . Mais une démonstration générale est meilleure encore. Bon après chacun son opinion. Supernick t'es super

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:08

Et je me suis convaincu pour le t(MX)MX positif

Enfin, vu comme l'énoncé est posé, je trouve que la démo en dimension 2 (comme demandé dans l'énoncé) est très plaisante je garde

Merci à vous trois ! Plus de zones d'ombre pour la première partie de l'énoncé

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:11

De rien, bonne soirée  aux trois

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:13

PS: en effet j'avais oublié que tu travaillais avec des matrices d'autre 2....ce que je donnais est comme le dit yann63 plus général.

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:23

J'arrive même pas à trouver le polynôme annulateur !

J'essaye de multiplier la relation qu'on a dans l'énoncé par tM, ça me donne pas de polynôme en tMM...

Posté par
Supernickre : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:35

Et par son carre?

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:39

Oui c'est ce que j'ai fait : (tMM)2 + 2(tM)2 = 0...

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:40

ben comme ça, moi je calculerais
M^2+2I_2=0 => M^2=-2I_2 =>^tM\times M \times M \times ^tM=-2 \times^t(MM)=-2 \times ^t(M^2)=-2 \times I_2.
La dernière égalité venant du faite que M^2=-2I_2...donc M^2 est diagonale, donc symétrique.
D'où finalement (^tMM)^2=-2 \times I_2 en utilisant que t^MM=Mt^M

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:44

oups error à la fin....
D'où finalement : (^tMM)^2=4 \times I_2 (en utilisant que ^tMM=M^tM

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:45

et même erreur au milieu dans le calcul....la vois-tu ? (et trouve tu la même chose à la fin par contre?)

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:48

ah ben oui tu la voies...c'est ce que tu as écris ^tMM)2 + 2(^tM)2 = 0...et là (^tM)2=^tM^tM=^t(M^2)....d'où....

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:50

Ah oui bien vu le (tM)2=t(M2) qui donne le polynôme !

Donc P=X2+2 annule tMM sauf que du coup, le spectre de tMM est inclus dans l'ensemble des racines de P, qui ne sont pas réelles...

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:51

Ah ouais voilà !!!! C'est X2-4 qui annule tMM

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:53

Non attention...je t'ai floodé avec tout mes messages maladroits mais le polynôme annulateur de ^tMMc'est P(X)=X^2-4...vois tu pourquoi ?

Posté par
Olivskire : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 24-05-11 à 23:54

ah ben décidement le LaTex me ramoli...

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 25-05-11 à 00:01

(Oui c'est bien X2-4 car -2t(M²) = -2 (-2I2)...)

Du coup le spectre de tMM est {-2,2} !

Posté par
Julot777re : [Diagonalisation] Matrice carrée d'ordre 2 25-05-11 à 00:01

Merci beaucoup en tout cas Oliv' et bonne nuit


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