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Diagonalisation, matrices

Posté par
Aerobi 20-08-11 à 11:57

Bonjour,

J'ai un petit problème pour la fin de la résolution d'un exercice. Je vous remercie d'avance pour l'aide apportée.

Résoudre dans \large M_3(\mathbb{R}) l'équation \large X^2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&2&1\\\end{pmatrix}



Soit \large A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&2&1\\\end{pmatrix}.
Pour \large x\in \mathbb{R}, \large \chi_{B}(x)=det(A-xI_3)=...=-x(x-4)(x-1)
Les valeurs propres de A sont donc 0, 4 et 1. Donc A admet 3 valeurs propres distinctes et A\in M_3(\mathbb{R}) donc A et diagonalisable.

Soit \large X'=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3

AX'=0 ... \large X=x_2\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\\end{pmatrix} donc \large ker(A)=\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\\end{pmatrix}

AX'=X' ... \large X=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\\end{pmatrix} donc \large ker(A-I_2)=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\\end{pmatrix}

AX'=4X' ... \large X=x_2\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix} donc \large ker(A-4I_2)=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}

Donc \large A=PDP^{-1} avec \large P=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&1&1\\-3&1&1\\\end{pmatrix}, \large P^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{3}{12}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\\frac{1}{3}&\frac{5}{12}&\frac{1}{4}\\\end{pmatrix} et \large D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\\\end{pmatrix}

Ainsi on a \large X^2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&2&1\\\end{pmatrix}=PDP^{-1} donc \large P^{-1}X^2P=D donc \large (P^{-1}XP)^2=D
Et là mon problème c'est que j'ai dit que comme D est diagonale à coefficient dans \mathbb{R} donc \large P^{-1}XP=D^{1/2} donc \large X=PD^{1/2}P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&1&1\\-3&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\frac{3}{12}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\\frac{1}{3}&\frac{5}{12}&\frac{1}{4}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&\frac{7}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&\frac{7}{6}&\frac{1}{2}\\\end{pmatrix}

\Large X=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&\frac{7}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&\frac{7}{6}&\frac{1}{2}\\\end{pmatrix}

Et en vérifiant la matrice vérifie bien l'égalité... mais avoir pris la racine carré d'une matrice me gène vraiment vu qu'on a rien dans le cours sur cela.... donc j'en conclut que c'est faux...

Merci d'avance!

Posté par
Aerobire : Diagonalisation, matrices 20-08-11 à 12:10

Donc en fait ma question est de savoir si on peut prendre la racine carré de la matrice D et comment justifier cela...
Merci!

Posté par
veledare : Diagonalisation, matrices 20-08-11 à 12:57

bonjour3
dans M_3(R)les matrice diagonales d(0,1,2),d(0,-1,2),d(0,1,-2) et d(0,-1,-2) ont toutes les quatre D comme carré

Posté par
Aerobire : Diagonalisation, matrices 20-08-11 à 23:12

Bonjour! Tout d'abord merci!

Oui je suis d'accord il est plus facile de raisonner dans l'autre sens. Mais est ce que la solution X que j'ai trouvé est unique dans mon cas? Est ce la bonne méthode pr trouver le résultat?

Encore merci

Posté par
Aerobire : Diagonalisation, matrices 21-08-11 à 11:44

Ah oui en fait j'ai mal compris il y a en effet plusieurs solutions du fait qu'on ait plusieurs matrice diagonale possible! Merci beaucoup

Posté par
lolo271re : Diagonalisation, matrices 21-08-11 à 13:53

Bonjour,

0, 4 , 1 sont les valeurs propres de A donc si   a  est valeur propre de X  tu as   a2 = 0,1 ou 4 .

Les seules valeurs propres possibles sont 0, -1, 1, -2, 2 .

Maintenant  les espaces propres pour A sont tous des droites,  Ker (X^2-I) = Ker (X-I) + ker (X+I)

donc les espaces propres de X sont aussi de dimension 1 . X  est donc diagonalisable et évidemment X2 l'est dans la même base. tu en déduis que tu trouves toutes les solutions.


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