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Diagonalisation,Polynôme caractéristique,Matrice de Passage
Bonjour à tous,
Encore dans le but de terminer mes révisions, je vous recopie un exercice sur les Matrices. Je reste "bloqué" à la question 3...
Enoncé :
On considère la matrice A = 2 1 0
0 1 0
1 1 1
1) Calculer le polynôme caractéristique de A :
A= 2-X 1 0
0 1-X 0
1 1 1-X
Je n'ai pas trouvé l'utilité de simplifier la matrice, et je trouve comme polynôme PA=(2X-1)(1-X)(1-X)
2) En déduire les valeurs propres de la matrice A :
Ce sont les racines du polynôme : 
1=2 , 2=1 qui est une valeur propre "double"
3) Montrer que A est diagonalisable :
Ici, j'aurai été tenté de dire que comme nous avons "3" valeurs propres, alors A est diagonalisable...
4) Donner la matrice diagonale D associée à A :
C'est ici que je n'arrive plus à avancer, car même je ne sais pas determiner les 3? vecteurs propres... Je sais faire pour
1=2 , 2=1, mais après je ne vois pas comment continuer...
5) Determiner la matrice de passage P et calculer son inverse P-1
6) En déduire l'expression de An, pour tout n
N
salut
2/
d'après ton polynome caractéristique l'une des racines est 1/2
3/
trouve trois vecteurs libres u,v et w tels que Au = (1/2)u, Av = v et Aw = w ... l'espace propre associé à la valeur propre 1 doit être de dimension 2 pour que A soit diagonalisable ....
4/
(u, v, w) est alors une base donc D = ....
Je me suis trompé... Mon polynôme caractéristique est (2-X)(1-X)(1-X).... et non pas (2X-1)(1-X)(1-X) désolé pour l'erreur comise...
Bonjour,
ton polynôme caractéristique est P(X)=(2-X)(1-X)^2.
A est diagonalisable si le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 2.
On cherche donc à résoudre le système AX=X,
soit :
2x_1+x_2=x_1
x_2=x_2
x_1+x_2+x_3=x_3,
ce qui nous donne x_1+x_2=0.
Le sous-espace vectoriel obtenu est donc de dimension 2, donc A est diagonalisable.
Bonjour,
Une autre méthode serait de montrer que polynôme minimal de A est scindé à racines simples :
Le polynôme minimal divise PA. (théorème de Cayley-Hamilton)
Donc si le polynôme (2-X)(1-X) annule A, A est diagonalisable. Sinon, le polynôme minimal n'est pas scidé à racines simples (car alors le polynôme minimal est de la forme (1-X)²*Q(X) et il n'est donc pas à racines simples.)
Pour la 4), tu as le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 qui est de dimension 2. Donc tu peux immédiatement dire que D=diag(1,1,2). Tu n'auras besoin des vecteurs propres que pour la matrice de changement de base.
Pour les vecteurs propres, il suffit de résoudre AX = 2X et AX=X. Tu trouveras alors un plan de vecteurs propres pour la valeur propre 1, et une droite de vecteurs propres pour la valeur propre 2.
Pour la 6) il faut utiliser le fait que si alors
ktalan,
pour la question 1 , c'est vrai ce que tu as dis le determinat c'est :
(1-)2 (2-)
2) les valeurs propres sont =1 et =2
3)pour montrer que A est diagonalisable, on doit faire cela:
vecteurs propres associes a =1
|2-1 1 0 | |1 1 0| (x) 0 x+y=0
|0 1-1 0| 
|0 0 0| * (y) = 0
|1 1 1-1| |1 1 0| (z) 0 x=-y
donc la premiere base U1=(-1,1,0) et U2 =(0,0,1) car z a n'importe quelle valeur.
pour trouver U3 on procede de la meme facon avec =2 et on trouve que U3=(-1,0,1)
4)D= ( 1 0 0)
( 0 1 0)
( 0 0 2)
5)la matrice P c'est le faite de mettre les bases U1 U2 et U3 dans une matrice de cette facon:
-1 0 -1
1 0 0
0 1 1
et P-1=comt/determinant de P
P-1= (0 -1 0)
(-1 1 -1)
(-1 1 0)
6)D=P-1 A P
A= P D P-1
An= P Dn P-1 (on fait la multiplication de ces 3 matrices)
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