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Diagonalisation / produit scalaire
Bonsoir, j'ai un souci avec deux questions d'un exercice :
E est l'espace vectoriel R3 muni du produit scalaire usuel, B=(e1, e2, e3) est une base orthonormée de E, GL(E) est l'ensemble des automorphismes de E.
Soit Psi l'endomorphisme de E dont la matrice relativement à B est :
A= ( -1/4 2/4 2/4)
..... ( 2/4 -1/4 2/4 )
......( 2/4 2/4 -1/4 )
On note S l'ensemble des endomorphismes phi de E pour lesquels :
il existe k appartenant à [0;1[, tel que pour tout x appartenant à E, II phi(x) II <= k II x II II . II désigne la norme
1) Montrer que psi appartient à SnGL(E) ----> je n'arrive pas à cette question
2) Id(E) appartient-il à S ? -------> j'ai réussi cette question
3) Montrer que S est stable pour la composition des endomorphismes --------> j'ai réussi cette question
4) Soit phi appartenant à SnGL(E), a t on aussi phi^(-1) appartenant à SnGL(E) ? -------> c'est la deuxième question qui me pose problème
...
Pouvez vous m'aider à répondre aux deux questions qui me bloquent (la 1 et la 4) ?
Merci d'avance pour votre aide
Bonsoir,
pour la question 1).
J'imagine que SnGL(E) signifie S
GL(E).
est dans GL(E) car le déterminant de A est non nul ( calcul à faire ).
Il reste à montrer que est dans S.
Pour ceci tu peux calculer l'image d'un vecteur u par et vérifier que
||(u)||
k||u|| pour une certaine valeur de k.
Il est recommandé de commencer par regarder se qui se passe pour e1, e2 et e3.
Pour l'appartenance à S:
Si je prends u= (x,y,z)
IIuII= 
(x2 + y2 + z2)
phi(u)=A * u = (-1/4*x + 2/4 *y + 2/4*z , 2/4*x - 1/4 *y + 2/4*z , 2/4*x + 2/4 *y - 1/4*z )
Donc II phi(u) II = (9/4*(x2 + y2 + z2)) = 3/2 * (x2 + y2 + z2)
J'obtiens que II phi(u) II > II u II
Cela ne marche pas : me suis-je trompé dans les calculs ?
Bonjour
Au = (1/4)(-x+2y+2z;2x-y+2z;2x+2y-z)
sa norme vaut 1/4 de celle de (-x+2y+2z;2x-y+2z;2x+2y-z)
norme au carré de (-x+2y+2z;2x-y+2z;2x+2y-z) = 9(x²+y²+z²)
donc norme de Au = (3/4)(x²+y²+z²)
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