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Different ciel
Bonjour,
j'ai un exercice a resoudre et malgré avoir avançé je me retrouve bloqué comme souvent.
J'ai (E) y'+y = x+1
ou y est une fonction réelle de la variable réelle x et y' sa dérivée.
a) nous posons z=y-x, ecrire l'équation différentielle satisfaite par z.
je me suis dit que (E) doit être un polynome d'un degré 1. Ce polynome noté z est alors de la forme z(x)= y-x et qui verifie z'+z = x+1.
comme z'(x)=-1, j'obtiens l'équation -1+y-x = x+1
d'ou y=1
-x-1=1 soit x=1.
Cela devrait me permettre de determiner une solution particuliere de y'+ y = x+1.
Je trouve z= 1x -1. Je crois pas que c'est cela.
Quelqu'un peut il m'aider, svp.
y'+y = x+1
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Solutions de l'équation avec le second membre = 0.
y'+y = 0
p+1 = 0
p = -1
y = A.e^-x
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Solution particulière de l'équation avec second membre.
y = Ax + B
y' = A
y + y' = Ax + A+B
On identifie avec y+y' = x+1
-->
A=1
A+B=1
A=1 et B = 0
y = x
---
Solutions générales:
y = x + A.e^-x
Avec A une constante réelle.
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Sauf distraction. 
Par la méthode suggérée dans l'enoncé.
poser z = y-x
z' = y'-1
z+z' = 0
--> y-x+y'-1=0
y'+y = x+1
Donc l'équation z+z'=0 (avec z = y-x) est équivalente à y'+y = x+1
-----
Résolution de z+z'=0
--> immédiatement z = A.e^-x
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Avec z = y-x
y = x + z
y = x + A.e^-x
Avec A une constante réelle.
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Sauf distraction.
Bonjour J-P,
decidement tu m'auras considerablement aidé aujourd'hui.
En réponse a ta réponse, y est donc la solution de y'+y = x+1, alors si je fais y(0) je trouverais la constante, ce qui devrait me permettre de tracer la courbe representative de y.
Merci encore.
Oui verner, y = x + A.e^-x est solution de y'+y = x+1, et ceci quelle que soit la valeur de le constante A.
Si par contre on te donne EN PLUS, une condition initiale, par exemple y(0) = 8 (ou autre chose) , alors il n'y a qu'une seule valeur de A qui convient et il faut la déterminer.
Mais en l'absence de cette condition initiale supplémentaire, il faut laisser le "A" dans l'expression des solutions.
J-P,
on ne me donne pas de condition initiale, on me dis juste y(0)=alpha.
ce qui me permet de tracer ma courbe et d'en etudier les variation en alpha<0; alpha=0 et alpha>0.
En faisant la courbe, je trouve une tangente au point d'abcisse -1. je la vois sur la courbe, mais je ne sais pas la demontrer.
Merci encore
y(0)=alpha est une condition initiale.
y = x + A.e^-x
alpha = 0 + A.e^0
alpha = A
--> la solution est y = x + alpha.e^-x
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f(x) = x + alpha.e^-x
f '(x) = 1 - alpha.e^-x
Tangente au point d'abscisse a:
f(a) = a + alpha.e^-a
f '(a) = 1 - alpha.e^-a
y - f(a) = (x-a).f '(a)
y - a - alpha.e^-a = (x-a).(1 - alpha.e^-a)
y - a - alpha.e^-a = x.(1 - alpha.e^-a) - a + a.alpha.e^-a
y = x.(1 - alpha.e^-a) + a.alpha.e^-a + alpha.e^-a
y = x.(1 - alpha.e^-a) + (a + 1).alpha.e^-a
Si a = -1, on a l'équation de la tangente au point d'abscisse - 1, cette équation est:
y = x.(1 - alpha.e^1) + (-1 + 1).alpha.e^1
y = x.(1 - alpha.e)
Et on a cette tangente qui passe par l'origine des axes quel que soit la valeur de alpha.
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Sauf distraction. :
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