Bonjour,

1. Quelle est ta méthode avec Thalès ?

2. Une solution (niveau Première je crois) avec les barycentres

D'après l'énoncé :
I = Barycentre A,1 B,1
J = Barycentre C,2 A,1
D est sur (IJ) :
D = Barycentre I,a J,b
= Barycentre A,(a+b) B,a C,2b
Or D est sur (BC) donc a+b=0 et :
D = Barycentre B,a C,-2a
= Barycentre B,1 C,-2
Donc C est le milieu de [BD]

3. Je n'ai pas trouvé de solution simple avec les vecteurs. En voici une "bourrine".

Il existe k et m tels que :



Donc :

Donc :

Or ces 2 vecteurs non nuls ne sont pas colinéaires.
Donc les 2 coefficients doivent être nuls.

On déduit de la 2ème équation :
En reportant dans la 1ère, il vient :
Donc
Donc C est le milieu de [BD]

J'espère qu'il y a plus simple.

Nicolas

Bonjour,

J'ai cherche un peu et je me suis pose les memes questions que toi Nicolas. D'abord je n'ai pas trouve de solution simple avec les vecteurs. Je me suis demande aussi comment le faire avec Thales etant donne l'absence de paralleles. Peut etre en rajoutant un point ?

En revanche je crois avoir trouve une solution plus elegante, avec les medianes.

Dans le triangle ACD :

[DI] est une mediane car I est le milieu de [AB] donc IJ = 1/3ID (Cela donne ton m directement Nicolas.)

Tout en vecteurs.

BC = BI + IJ + JC

   = BI +1/3ID + 1/3AC

   = BI + 1/3IB + 1/3BD + 1/3AC

   = 2/3BI + 1/3BD + 1/3AC

   = 1/3BA + 1/3BD + 1/3AC

   = 1/3BC + 1/3BD

Donc 2/3BC = 1/3BD  et finalement BC = 1/2BD

En fait je reprends ton calcul Nicolas mais en connaissant m=1/3.


D'ailleurs il y a peut-etre encore plus rapide mais j'ai un petit doute.

On doit pouvoir dire que [AC] est aussi une mediane de ACD car J est aux 2/3 de [AC]. Ne manque t-il pas qque chose ?

  

bonjour,

evidemment il reste la méthode du repere mais je pense que géométriquement cela reste plus joli.
dans le repere (A, AB, AC)
I(1/2,0)
J(0,2/3)
B(1,0)
C(0,1)

l'equation de la droite (BC) est y=-x+1
l'equation de la droite (IJ) est y=-4/3*x+2/3

les coordonnes du point d intersection sont (-1,2)

on a a donc D(-1,2) et on verifie bien que C est le milieu de [BD]

Bonjour,
Tout d'abord je tenais à vous remercier de vous etre penchés sur ce problème.

1. je me doutais qu'il n'y avais pas de réponse "simple" avec les vecteurs et j'avais comencé à faire le raisonnement de Nicolas mais sans aller jusqu'au bout. Mais bon, le raisonnement est tout à fait correct et ca reste une réponse à ce problème.
Par contre je ne suis pas d'accord avec le complément de Nicolas qui aurait bien sur simplifié la réponse mais je le trouve faux:
"[DI] est une mediane car I est le milieu de [AB] donc IJ = 1/3ID"
rien ne nous dit que J est le centre de gravité donc la conclusion :  IJ = 1/3ID est fausse!!!

2.la solution de nicolas avec les barycentre est très jolie; je n'y avais pas pensé du tout!!

3.celle de cqfd67 je l'avais trouvée (ouf.. au moins une)



minkus :
pour répondre à ta question : "On doit pouvoir dire que [AC] est aussi une mediane de ACD car J est aux 2/3 de [AC]. "
je pense que tu fait la meme erreur ; J est au 2/3 de AC c'est vrai mais comme on ne sait pas que J est le centre de gravité, on ne peut rien conclure!


Nicolas
la réponse avec thalès est très jolie (je trouve).
L'astuce est de rajouter le point H milieu de IB et d'appliquer Thalès dans 2 triangles:
-dans le triangle ACH, on AJ/AC =2/3 et AI/AH = 2/3 donc d'apres la reciproque de thalès, les droites IJ et CH sont parallèles
-dans le triangle DIB, on sait à présent que DI est parallèles à CH donc d'après Thalès BH/BI=BC/BD et come BH/BI =1/2, on a BD = 2BC donc C est le milieu de BD

"je ne suis pas d'accord avec le complément de Nicolas"

Je plaide non coupable, je n'ai rien complété !

En Seconde, sans indication, voilà un exercice "qui déchire" !

Je me doutais qu'il fallait rajouter un point pour Thales

Pour cette histoire de mediane, j'avais bien vu ce que tu dis et ma question etait autre.

Un point situe aux 2/3 sur un segment issu d'un sommet ET situe aussi sur une des 3 medianes est-il forcement le centre de gravite ?

Apparemment la reponse est oui puisque aucun autre element n'entre en ligne de compte et qu'au final il se trouve que J est bien le centre de gravite.


En fait reprenons ABD avec sa mediane [DI]. Prenons un point M quelconque de [BD] et tracons [AM].
[AM] peut-il couper [DI] en un point J situe aux 2/3 de [AM] sans que J soit le centre de gravite ?

je suis le coupable, jusqu'a preuve du contraire

Je pense qu'il est possible de t'innocenter, mais cela nécessite une démonstration.
Bien vu, en tout cas !

Vive la présomption d'innocence !

Soit un triangle ABD, I le milieu de [AB], C un point de [BD]. (DI) coupe (AC) en J tel que AJ = (2/3)AC. Alors C est le milieu de [BD].

Vrai ou faux ?

(si j'ai bien compris)

Oui et cette demo, c'est justement l'exercice non ?

Bon vous n'avez rien vu, je crois que je vais proposer un nouveau theoreme :

Theoreme de Minkus "Si dans un triangle, un point se trouve sur une mediane et ..."

"Oui et cette demo, c'est justement l'exercice non ?" >>

Je sors...

oups!!
excuse moi de t'avoir accusé à tord Nicolas...
je voulais bien sur parler du complément de minkus !
desolée

Une variante...
Soit G le centre de gravité de ABD.
G est sur (DI).
G est sur (d), image de (BD) dans h(A;2/3)*.
Or I est sur (DI) et sur (D).
Donc G=J.
* Pour la seconde : droite qui est parallèle à (BD) et qui passe par G1 tel que AG1=2AB/3 (et ya des vecteurs).

oui c'est pas mal!!
mais tu penses que des élèves de seconde connaissent cette propriété
"G est sur (d), image de (BD) dans h(A;2/3)*" ?
cela dit, je suis tout à fait d'accord avec toi!