Bonjour, j'ai un exercice a faire sur les dérivées composées ....
voici l'énoncé :
le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction p définie pour tout réel t positif par p(t)=100(t²+20t)e^-t-1 , ou t représente le nombre de semaines depuis le début de l'épidémie.
1) déterminer la fonction dérivée p' de p sur [0;+]
2) dresser le tableau de variations de p sur [0;+]
3) quel est le nombre maximal de malades ? au bout de combien de temps ?
je sais comment dériver une fonction composée donc ici j'ai pensé a l'exponentielle donc la fonction serait de type e^u(x) ou u(x)=-t-1 donc u'(x)=-t
cependant la premiere partie de l'équation n'est pas utilisée donc faut-il utiliser u x v ?
merci d'avance pour votre aide
donc j'ai trouvé u'(x)=2t+20 et v'(x)=-t x e^-t-1
donc d'après la formule u'xv + v'xu
-> 2t+20xe^-t-1 - te^-t-1 x 100(t²+20t)
dois-je laisser l'equation ainsi ou la réduire ?
x est une lettre de l'alphabet ce n'est pas le symbole de la multiplication qui est ou *
vous le trouvez dans sous la page de réponse à côté du symbole racine carrée
les symboles facilement disponibles
Il faut d'abord la corriger et bien évidemment la réduire
c'est la dérivée de la fonction ce n'est pas une équation
ah oui donc cette dérivée une fois corrigée:
2t+20e^-t-1 -e^-t-1100(t²+20t)
donc maintenant comment la réduire sans "se mélanger les pinceaux" puis-je enlever les 2 exponentielles pour commencer puis développer les parenthèses par 100 ?
Ce qui vous intéresse dans la dérivée c'est son signe donc mettre le maximum en facteurs
Vous avez oublié le premier 100
On va donc mettre 100 en facteur Il aurait été plus simple de laisser tomber le 100 pour se recentrer sur le reste
ah oui d'accord , votre est vraiment précieuse et m'aide beaucoup
donc p'(t)= 100(2t+20-(t²+20t))e^-t-1 -> je reprends ce que vous me dites
= 100(2t+20+t²-20t)e^-t-1
= 100(t²-18t+20)e^-t-1
donc ici il y a un polynome de 2nd degré faut il en tenir compte et le calculer a l'aide du discriminant ?
Vous avez oublié un signe
on a donc
Ce que vous voulez maintenant est le signe de icelui se ramène au signe de
factorisez-le
=404 >0
donc 2 solutions :
x1=-18+404/2=1.05
x2=-18-404/2=-19.05
mais maintenant comment factoriser ?
ça pour éviter le tableau de signe
Un trinôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines
Vous pouvez aussi faire le tableau complet et rayer toute la partie négative
Je n'ai gardé que ce qui importait
Remarque sans importance ici l'autre valeur était
d'accord , ensuite ce tableau permet de répondre a une partie de la question 3 , comme t représente le nombre de semaines depuis le début de l'épidémie , alors t=-9+101
Le maximum de malades est à arrondir à l'unité (ce sont des personnes donc pas de quart ou de tiers), atteint pour là aussi arrondir mais cette fois en jours
ah oui donc pour trouver le maximum de malades il faut remplacer t de la formule initiale p(t) par (-9+101) ce qui donne 1.4492.... donc sa fait 2 malades maximum et pour le nombre de jours t=-9+101=1.0498...=1 jour ?
j'ai fait exactement le même calcul sur ma calculatrice et je n'avais pas du tout trouvé ce résultat
je viens de remarquer que vous avez mis a la fin du calcul : e^-8-101 mais c'est -9+101 normalement non ?
je vous remercie énormément de m'avoir aidé sur cet exercice je comprend mieux les démarches a suivre maintenant
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