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difficulté sur un exo de dérivées composées

Posté par
GwendoKim
19-02-21 à 15:48

Bonjour, j'ai un exercice a faire sur les dérivées composées ....
voici l'énoncé :
le nombre de malades touchés par une maladie contagieuse est modélisé par la fonction p définie pour tout réel t positif par p(t)=100(t²+20t)e^-t-1 , ou t représente le nombre de semaines depuis le début de l'épidémie.
1) déterminer la fonction dérivée p' de p sur [0;+]
2) dresser le tableau de variations de p sur [0;+]
3) quel est le nombre maximal de malades ? au bout de combien de temps ?

je sais comment dériver une fonction composée donc ici j'ai pensé a l'exponentielle donc la fonction serait de type e^u(x) ou u(x)=-t-1 donc u'(x)=-t
cependant la premiere partie de l'équation n'est pas utilisée donc faut-il utiliser u x v ?

merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 15:52

Bonjour

Oui vous avez bien un produit  uv  la dérivée est alors u'v+v'u

on pose u(t)=100(t^2+20t)

et v(t)=\text{e}^{-t-1}

v est de la forme \text{e}^w donc v'=w'\text{e}^w

Posté par
Leile
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 15:53

bonjour,

p(t) =  100 ( t²  + 20t )  *   e -t-1

il s'agit bien d'un produit de fonctions  u * v

Posté par
Leile
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 15:54

bonjour hekla, carambolage !
Je quitte. Bonne journée.

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 15:56

Bonjour Leile

Bonne journée

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 16:11

oui c'est bien ce qui me semblait merci
bonne journée

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 16:22

De rien
Bonne journée

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 16:27

donc j'ai trouvé u'(x)=2t+20 et v'(x)=-t x e^-t-1
donc d'après la formule u'xv + v'xu
-> 2t+20xe^-t-1  -  te^-t-1 x 100(t²+20t)
dois-je laisser l'equation ainsi ou la réduire ?

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 16:42

x est une lettre de l'alphabet  ce n'est pas le symbole de la multiplication qui est \times    ou *

vous le trouvez dans \Pi sous la page de réponse à côté du symbole  racine carrée


les symboles facilement disponibles
difficulté sur un exo de dérivées composées

 w(t)=-t-1 \quad w'(t)=-1

Il faut d'abord la corriger  et bien évidemment la réduire

c'est la dérivée de la fonction ce n'est pas une équation

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 18:51

ah oui donc cette dérivée une fois corrigée:
2t+20e^-t-1  -e^-t-1100(t²+20t)


donc maintenant comment la réduire sans "se mélanger les pinceaux" puis-je enlever les 2 exponentielles pour commencer puis développer les parenthèses par 100 ?  

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 19:10

Ce qui vous intéresse dans la dérivée c'est son signe  donc mettre le maximum en facteurs

Vous avez oublié le premier 100

100(2t+20)\text{e}^{-t-1}-100(t^2+20t)\text{e}^{-t-1}

On va donc mettre 100 \text{e}^{-t-1} en facteur Il aurait été plus simple de laisser tomber le 100 pour se recentrer sur le reste

p'(t)=100\underbrace{\Big(2t+20-(t^2+20t)\Big)}_{\text{partie à simplifier}}\text{e}^{-t-1}

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 20:32

ah oui d'accord , votre est vraiment précieuse et m'aide beaucoup

donc p'(t)= 100(2t+20-(t²+20t))e^-t-1       -> je reprends ce que vous me dites
                     = 100(2t+20+t²-20t)e^-t-1
                     = 100(t²-18t+20)e^-t-1      
donc ici il y a un polynome de 2nd degré faut il en tenir compte et le calculer a l'aide du discriminant ?

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 21:08

Vous avez oublié un signe -  

-(t^2+20t)=-t^2-20t on a donc p'(t)=100(-t^2-18t+20)\text{e}^{-t-1}

Ce que vous voulez maintenant est le signe de  p'(t) icelui se ramène au signe de

-t^2-18t+20  factorisez-le  \Delta >0

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 21:28

=404 >0
donc 2 solutions :
x1=-18+404/2=1.05
x2=-18-404/2=-19.05
mais maintenant comment factoriser ?

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 21:45

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)x_1 et x_2 sont les racines du trinôme.

Vous pouviez simplifier

 x_1=-9-\sqrt{101} \quad x_2=-9+\sqrt{101}

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 21:50

ah oui j'avais oublié sa
donc -1(x+9-101)(x+9+101)

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 21:54

ça  pour éviter le tableau de signe

Un trinôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 22:11

d'accord et a= -1 donc le trinome est negatif sauf pour les racines

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 22:28

Non sauf entre les racines

Ne pas oublier l'ensemble de définition de la fonction

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 22:37

ah oui d'accord je vois merci

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 22:42

d'où

difficulté sur un exo de dérivées composées

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 19-02-21 à 22:51

donc il n'y a pas 9-101 car c'est négatif et que l'intervalle est [0;+]

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 10:28

Vous pouvez aussi faire le tableau complet et rayer toute la partie négative

Je n'ai gardé que ce qui importait

Remarque sans importance ici  l'autre valeur était -9-\sqrt{101}

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 13:56

d'accord , ensuite ce tableau permet de répondre a une partie de la question 3 , comme t représente le nombre de semaines depuis le début de l'épidémie , alors t=-9+101

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 14:17

Le maximum  de malades  est f(-9+\sqrt{101}) à arrondir à l'unité   (ce sont des personnes donc pas de quart ou de tiers), atteint  pour t= -9+\sqrt{101} là aussi arrondir mais cette fois en jours

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 14:40

ah oui donc pour trouver le maximum de malades il faut remplacer t de la formule initiale p(t) par (-9+101) ce qui donne 1.4492.... donc sa fait 2 malades maximum et pour le nombre de jours t=-9+101=1.0498...=1 jour ?

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 14:54

100*(t^2+20t)\,\text{e}^{-t-1}\approx 285

Soit 285 personnes au bout d'une semaine

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 14:58

 100((-9+\sqrt{101})^2+20(-9+\sqrt{101})\,\text{e}^{8-\sqrt{101}}\approx 285

il fallait évidemment remplacer t

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:11

j'ai fait exactement le même calcul sur ma calculatrice et je n'avais pas du tout trouvé ce résultat

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:14

je viens de remarquer que vous avez mis a la fin du calcul : e^-8-101 mais c'est -9+101 normalement non ?

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:32

t vaut bien cela  mais -t-1 vaut alors -(-9+\sqrt{101})-1=9-\sqrt{101}-1=8-\sqrt{101}

Vous avez ajouté un - devant 8 que je n'ai pas mis

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:35

ah oui d'accord j'avais oublié le -1

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:48

C'est quand même mieux comme réponse 285 que 2 malades en 1 semaine

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:50

oui effectivement je trouvais sa bizarre comme résultat

Posté par
GwendoKim
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 15:51

je vous remercie énormément de m'avoir aidé sur cet exercice je comprend mieux les démarches a suivre maintenant

Posté par
hekla
re : difficulté sur un exo de dérivées composées 20-02-21 à 16:01

De rien



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