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dim F(K,K) = +inf
Bonjour,
j'aimerais prouver que l'espace des fonctions de K dans K est de dimension infinie avec des connaissances de sup uniquement puis avec les connaissances de la spé.
J'ai essayé un raisonnement par l'absurde:
supposons par l'absurde dim F(K,K)= n
d'où F(K,K)=vect[f1,...,fn] où n>=1 où f1,...fn sont dans F(K,K)
D'où il existe a1... dans K tels que:
g= a1*f1+...+an*fn
Après je vois plus quoi faire...
Merci!
Bonjour,
C'est qui K précisément, ?
Si oui, et en supposant que dim F(K,K)=n alors observe la famille de fonctions avec
.
Bonjour
Je suppose que K est infini.
sinon...
soit ai une suite infini de K
fi(x)=ai si x=ai
=0 sinon
forme une famille infinie libre de l'espace considéré.
K= R ou C on a (f0,...fn) est une famille libre (g(x)=a0+...+anx^n=0->a0=...=an=0 car g fonction mononomiale à degré étagé...)
Or elle est constituée de n+1 vecteurs dans un ev de dimension n donc elle est liée. On a une contradiction.Et?
Merci.
Bonsoir
La famille des fk avec fk(x) = xk pour k de 0 à n-1 est une famille libre de n vecteurs, c'est donc une base. Quid alors de fn ?
K= R ou C on a (f0,...fn) est une famille libre (g(x)=a0+...+anx^n=0->a0=...=an=0 car g fonction mononomiale à degré étagé...)
Or elle est constituée de n+1 vecteurs dans un ev de dimension n donc elle est liée. On a une contradiction.Et?
Et cela contredit quoi justement ?
Bachstelze:
et bien on a fn(x)= a0+a1x+...a(n-1)x^(n-1)
Nahrm:
ça suffit à contredire le fait que F(N,K) admette une base avec un nb fini de vecteurs non?
Merci.
Narhm:
ça suffit à contredire le fait que F(N,K) admette une base avec un nb fini de vecteurs non?
Oui en particulier, et donc que la dimension de F(N,K) soit finie !
Initialement et si on devait écrire correctement les choses, ton raisonnement commencerait par :
Supposons que l'espace vectoriel F(N,K) soit de dimension fini.
Alors il existe un entier naturel n tel que dim F(N,K)=n.
Mais tu as prouvé qu'il existait une famille libre de n+1 vecteurs de F(N,K) ce qui n'est pas possible puisque dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille de k>n vecteurs est liée.
On obtient une contradiction avec bien sur la seule hypothèse que l'on ait fait jusque là : "l'espace vectoriel F(N,K) soit de dimension fini"
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