Bonjour

a élément de E

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,y,z,t) et  x+y+z = x-y+t = 0

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,y,z,t) et  y = -x-z  ,  t = y-x = -2x-z

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,-x-z,z,-2x-z)

<=> ...

Tu continus ?

Romain

Bonjour,
f(x,y,z,t)=x-y+t
g(x,y,z,t)=x+y+z

sont des formes linéaires, donc leur noyau est un hyperplan (dimension 3)
Donc leur intersection est de dimension 3,2,1 ou 0.
Mais c'est clairement ni de dimension 3, ni de dimension 0.

A toi de voir si tu peux trouver un ou 2 vecteurs indépendants dans E, c'est pas bien compliqué.
a+

Donc en fait tout élément de a de E s'écrit :

a=(x,-x-z,z,-2x-z), et comme je ne peux pas éliminer x ou z, tout les points de E dépendent de deux vecteurs, donc la dimension est 2. c'est ca?

Bonjour, Kuarcha.

Je suppose que tu as déjà démontré que E est un sous-espace vectoriel.

(x,y,z,t) est dans E si et seulement si:
z=-x-y  et  t=-x+y
donc si et seulement si:
(x,y,z,t)=(x,y,-x-y,-x+y)
donc si et seulement si:
(x,y,z,t)= x (1,0,-1,-1) + y (0,1,-1,1)
On en déduit que e1=(1,0,-1,-1) et e2=(0,1,-1,1) forment une famille génératrice de E. Il reste à démontrer que c'est une famille libre.

Oui enfin, il faut continuer la démonstration, parce que tes vecteurs peuvent être liés comme l'a fait remarquer Otto :

a élément de E

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,y,z,t) et  x+y+z = x-y+t = 0

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,y,z,t) et  y = -x-z  ,  t = y-x = -2x-z

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = (x,-x-z,z,-2x-z)

<=> il existe (x,y,z,t) dans R tq , a = x(1,-1,0,-2) + z(0,-1,1,-1)

<=> a élément de vect[(1,-1,0,-2),(0,-1,1,-1)]

Je te laisse conclure ...

Romain

En fait j'ai pas démontré que c'est un sev, l'exercice me demande de travailler dans cet ensemble, et je me suis effectivement demandé sur quel espace je travaillais. Merci pour vos explications, désolé Otto de ne pas avoir répondus direct mais nous venons juste d'aborder la notion de dimension, et je ne voyais pas clairement qu'il était pas de dimension 3, mais ca viendra j'espère... En tout cas merci à tous.