Posons , b étant la base canonique de .
Pour , on a , donc B symétrique réel.
On a ,autrement dit B commute avec toutes les matrices de .
D'où B est une homothétie.
Le s-e-v que tu cherches est dont .
C'est donc un espace de dimension 1.
Sauf erreur de ma part!

Bonjour yann63

Merci pour ta réponse.

Cependant, d'une part je ne comprend pas comment tu passes de A = I_n à B=B^t?
D'autre part, je ne comprend pas non plus le sens de l'égalité B(tA)=(tA)B, vu que B est une "matrice de matrices" telle-que tu as défini B ? l'ordre de B est égale à dim M_n(IR)=n² (nbre de lignes de B=nbre de colonnes de B c'est n²), alors que l'ordre de A est égale à dim(IRⁿ)= n (nbre de lignes de B=nbre de colonnes de B c'est n)?

Sauf incompréhension de ma part!

Bonjour mypb,

Le plus simple est de considérer les endomorphismes qui commutent avec l'application transposition (que je note T).

T est la symétrie par rapport aux matrices symétriques (espace de dimension p=n(n+1)/2), parallèlement aux matrices antisymétriques (espace de dimension q=n(n-1)/2).

Dans une base adaptée la matrice de T, écrite en 4 blocs, est: (Ip,0,0,-Iq).
On en déduit que le commutant de T est de dimension p²+q², soit encore n²(n²+1)/2.

Bonjour jandri,

Merci pour ta réponse. Je vais regarder cela.