Bonjour

C'est bien 2, car il admet comme base, (1,0,2,2) et (0,1,-1,-1) par exemple!

mais comment fais tu pour trouver ces deux vecteurs et savoir qu il ny en a pas d autres, parce qu il est engendré par (1,1,1,1) par exemple mais comment trouver une base?

J'ai bien dit "par exemple". L'important c'est d'en prendre des linéairement indépendants. A partir de ton (1,1,1,1) tu peux ajouter (2,1,0,0) ou... autre chose!

Mais bien sûr il faut montrer que les vecteurs proposés engendrent le sous-espace en question.

Alors: soit (a,b,c,d) dans le sous-espace. On cherche et tels que
(a,b,c,d)=v+w ou v et w sont les deux vecteurs proposés. Essaye!

d accord!
vu que cet espace est de dimension2, on sait que sa valeur propre associéé (en loccurrence -2) est de mulltiplicité 2 ,mais comment puis je en deduire le polynome caracteristique de l endomorphisme donné, je sais juste qu il sera de la forme (x+2)* q(x) où q est un autre polynome

Si j'avais l'exo, ça irait mieux... La dimension d'un sous-espace propre est inférieure à la multiplicité de la racine, donc pour ce que j'en sais, -2 est au moins double, mais pourrait être triple ou quadruple...

en fait on me donne comme matrice
-4   1   0   1
-2  -1   0   1
-12  6   3   1
-2   1   0   -1

mais je dois "deduire" le polynome caracteristique pas le calculer, bon bien sur je l ai calculé pour ma ider et il vaut
(x+2)(x-3)(x+2) mais bon je ne sais pas comment je peux voir que 3 et -2 st aussi valeurs proprs

OK. D'abord ton polynôme caractéristique doit être de degré 4!

Ensuite: si on appelle e₃ le vecteur (0,0,1,0) il est clair que Me₃=3e₃
est évidemment valeur propre.

J'avoue que -2 ne me saute pas aux yeux!

mais bien sur je n avais pas pensé pour e3
je vais regarder pour -2 si jpeux pas bidouiller quelque chose lol!

sinon la somme des termes sur la diagonale est -3  et c'est la somme (avec multiplicité) des valeurs propres.