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Dimension de l'image d'une application linéaire.

Posté par
matheux14 14-03-22 à 13:01

Bonjour,

Merci d'avance.

Soit f : \R^3 \mapsto \R^2 définie pour tout vecteur u = (x, y, z) \in \R^3 par : f(u) = (-2x + y + z, x - 2y + z)

1) Montrer que / est une application linéaire.

2) Énoncer le théorème noyau-image.

3) Donner une base de ker(f ), f est elle injective ?

4. Déterminer dim(Im(f)) et en déduire une base de Im(f).

Réponses

1) Montrons que f est une application linéaire.

Soit \alpha, ~\beta,~\gamma \in \R \\\\ f(\alpha x + \beta y + \gamma z) = (-2\alpha x + \beta y + \gamma z ~;~ \alpha x -2\beta y + \gamma z) \\\\ = \alpha(-2x ~;~ x) + \beta (y ~;~ 2y) + \gamma (z ~;~ z) \\\\ = \alpha f(x) + \beta f(y) + \gamma f(z)

2) Théorème du noyau-image.

dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E) avec E l'ensemble de départ de l'application linéaire f.

3) Donnons une base de ker(f ), f est elle injective ?

On a : ker(f) = \{u \in E / f(u) = \{O_{F} = f^{-1}(O_E)\} \} F ensemble d'arrivée de f

f(u) =0 _{R^2} \iff (-2x + y + z, x - 2y + z) = 0_{\R^2} \\\\ (-2x + y + z~,~ x - 2y + z) = (0 ; 0) \\\\ \iff \begin{cases} -2x + y + z = 0 \\\ x - 2y + z = 0\end{cases}

Donc \left\{\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} ~;~ \begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}  \right\} est une base de fer(f) et \neq 0_{\R^2} donc f n'est pas injective.

4) Déterminons dim(Im(f))

On a : dim(Im(f)) +dim(ker(f)) =dim(\R^3) \\\ dim(Im(f)) =dim(\R^3) - dim(ker(f)) =3-3 =0

Donc Im(f) = \{0_{\R^3}\}

Posté par
bernardo314re : Dimension de l'image d'une application linéaire. 14-03-22 à 14:24

Bonjour,

1)  attention  x,y, z sont des réels,  tu dois regarder  f( u + v) où  u  et  v  ont chacun 3 coordonnées.

Posté par
lafol Moderateurre : Dimension de l'image d'une application linéaire. 14-03-22 à 18:09

Bonjour
f(x) n'a de sens que si x est dans IR^3, pas si x est un réel ...

tu as peut-être appris que si les coordonnées de f(u ) dans une base de l'espace d'arrivée sont des combinaisons linéaires de celles du u dans une base de l'espace de départ, alors f est linéaire ? Si oui, ça va très vite pour la question 1 en utilisant les bases canoniques de tes espaces de départ et d'arrivée

Posté par
lafol Moderateurre : Dimension de l'image d'une application linéaire. 14-03-22 à 18:10

pour ta définition de Ker f, je me demande si tu n'as pas fait une erreur de balises en latexifiant ? parce que ce que tu as écrit est un peu fantaisiste

pourtant tu as l'air de connaître cette définition par la suite (mais pas de savoir résoudre un système de deux équations à trois inconnues : tes solutions devraient être des triplets, pas des couples !)

et par la suite, l'image est un sous espace de l'espace d'arrivée, le seul vecteur que tu en donnes n'est pas dans le bon espace...
et tu ne crois pas que ça se verrait si tous les triplets de départ avaient comme image (0,0) ?

Posté par
carpediemre : Dimension de l'image d'une application linéaire. 14-03-22 à 18:43

salut

ouais et les autres exo ne sont pas finis ...

f(x, y, z) = (-2x + y + z, x - 2y + z) = x(-2, 1) + y(1, -2) + z(1, 1)

donc la famille [(-2, 1), (1, -2), (1, 1)] est un système générateur de Im f ... qui est évidemment de dimension inférieur à 2 ... donc certainement pas libre ...

il est alors évident que x -y = z = 0 donne le noyau ...

donc Ker f = {k(1, -1, 0)}

qui se retrouve en résolvant correctement le système ...

Posté par
jean3re : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 14:21

Bonjour carpediem

Je pensais que le vecteur (1,1,1) appartenait au noyau

f(1,1,1)=(0,0)

Peux tu m'expliquer mon erreur
Merci

Posté par
jean3re : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 14:27

jean3 @ 16-03-2022 à 14:21

Bonjour carpediem

Je pensais que le vecteur (1,1,1) appartenait au noyau

f(1,1,1)=(0,0)

Peux tu m'expliquer mon erreur
Merci

Posté par
GBZMre : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 15:27

Bonjour,

Tu n'as pas fait d'erreur. l'erreur est chez carpediem.

Posté par
jean3re : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 16:47

Donc dim(Im(f)) =1 et d'après  dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E)
tu as dim(Im(f)).

En reprenant une partie du calcul de carpediem tu obtiens une base Im(f)

Posté par
GBZMre : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 16:56

Citation :
Donc dim(Im(f)) =1


Erreur ou lapsus ?

Posté par
jean3re : Dimension de l'image d'une application linéaire. 16-03-22 à 21:23

Je suis désolé de ne pas mettre relu

Je rectifie mon étourderie dû à des copier-coller maladroits

donc dim(ker(f))=1  et Ker f = {k(1, 1, 1)}

D'où dim(Im(f))=2 et le calcul de carpediem nous donne deux vecteurs de Im(f): (1, -2) et (1, 1)


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