Bonjour.

Sauf erreur de ma part, j'entrevois deux méthodes.

1°) En supposant connue la transcendance de e (ou de ),
on montre que la famille (eⁿ)_n>0 est libre.

2°) En supposant que dim_Q(R) = n, est finie,
cela signifierait que R serait en bijection avec Qⁿ.
On aurait pour conséquence la dénombrabilité de R.

J ai essayé avec la 2eme methode..mais ça n'a pas marché ..je vais donc essayer avec l'autre.
merci raymond.

Si la dimension de R par rapport à Q était finie, on pourrait trouver une base finie dans Q qui générerait R. Soit (q_1,...q_n) cette base, tout élément de R pourrait s'écrire de la forme a_1.q_1+...+a_n.q_où a_1...a_n sont dans Q. Mais un tel élément est toujours dans Q. Or il y a des éléments de R qui ne sont pas dans Q, le premier historiquement connu étant probablement racine(2). Donc il ne peut exister de base finie dans Q pour générer R.

Maintenant, il faaut encore démontrer qu'il existe une base infinie, et elle est évidente quand on pense au développement décimal des éléments de R : c'est la base (1, 1/10, 1/100, 1/1000...). Tous les termes de la forme 1/(10^n) sont bien dans Q, et tout élément de x de R peut s'écrire, en considérant son développement décimal, sour la forme E[x]+a_1/10+a_2/100+... où les a1, a2... sont dans N et donc dans Q.

Le petit hic est que dans ce cas le développement n'est pas nécessairement unique. Par exemple, on a 1=0,999999999999999999999999999...............  

Pourquoi n'es-tu pas arrivé(e) au résultat avec 2°) ?

L'existence d'une base finie de n termes donnerait :



Mais Q dénombrable => Qⁿ dénombrable.

Bonjour

LeHibou

Les éléments q_i de la base ne sont pas nécessairement rationnels.
Sinon ton raisonnement prouverait aussi que Q(2) n'est pas de dimension finie sur Q...


Cordialement
Frenicle

frenicle,

Désolé mais je n'arrive pas à te suivre. Tu ne peux pas construire une base sur Q en dehors de Q, c'est une propriété "de base" si j'ose dire d'une base. En allant chercher racine(2), tu vas déjà chercher un non rationnel, donc tu sors de Q. Effectivement la base de ton exemple est (1,racine(2)) et elle est de dimension 2, mais c'est déjà une base sur R !

Il faut qu'on précise tout ça, ne serait-ce que pour Just-me. Est-ce un modérateur pourrait nous aider?

LeHibou

Bonjour

>LeHibou Ca dépend d'une base de quoi sur quoi. Une base de R comme Q espace vectoriel, contient forcément des éléments qui ne sont pas dans Q.
Dans ta démonstration, tu essaies de rester dans Q; mais Q est un Q-espace vectoriel de dimension 1 et c'est tout ce que l'on peut dire... Quand au développement décimal, j'ai l'impression que tu prends tes coefficients dans Z, qui n'est pas un corps...

Bonjour LeHiou.

Comme tu étudies le Q-espace R, "les vecteurs" sont les réels et "les scalaires" les rationnels.

Donc une base sera formée de réels (qui peuvent éventuellement être rationnels puisque Q est inclus dans R).

D'ailleurs, la famille que je proposais dans mon premier topic était :

(1 , e , e² , e³ , ... , eⁿ , ... )

Bonjour Camélia.

Comme dit Camélia, , j'ai l'impression qu'on ne parle pas de la même chose. En fait, l'énoncé "la dimension de R par rapport à Q est l'infini" n'est pas assez précis.

Est-ce qu'on cherche, comme le dit Raymond, une base de R dont les vecteurs sont déjà dans R et les coefficients dans Q ?

Ou est-ce qu'on cherche, comme je l'ai fait jusqu'à maintenant, une base dans Q et des coefficients aussi dans Q (je me suis limité à Z et même à {0,1,...9} mais ça n'a rien d'une obligation), et là évidemment il faut introduire une notion de convergence hors de Q si on veut arriver dans R - mais de toute façon, quelque soit la méthode de construction de R, on en a besoin à un moment où à un autre de sortir de Q pour construire R à partir de Q...

En fait, si Just-me voulait bien nous retranscrire EXACTEMENT son énoncé, ça pourrait peut-être nous aider ?

Bonsoir LeHibou.

Dès que l'on parle de la dimension de sur , il n'y a pas litige :

il s'agit de la dimension de l'ensemble des réels considéré comme un -espace vectoriel.