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Diophante otra vez !
Chaque fois que j'ai posé une question en arithmétique, je n'ai
jamais eu de réponse... vous avez dit allergie ?
Je répète :
Résoudre dans Z :
2x²-y²=5
Il faut raisonner modulo 5 pour montrer qu'il n'y a pas de
solution.
(J'ai trouvé cet exo dans les commentaires du programme de TS mais la solution
n'est pas rédigée, si quelqu'un la connait, je suis preneur.)
merci
En vitesse et donc méfiance.
2x² = 5 + y²
comme le membre de gauche est pair, celui de droite doit l'être aussi.
-> y² est impair.
Donc le chiffre des unités de y ne peut pas être pair (sinon y² serait
pair).
si y se termine par 1 -> y² se termine par 1 -> 5 + y² se termine par
6
si y se termine par 3 -> y² se termine par 9 -> 5 + y² se termine par
4
si y se termine par 5 -> y² se termine par 5 -> 5 + y² se termine par
0
si y se termine par 7 -> y² se termine par 9 -> 5 + y² se termine par
4
si y se termine par 9 -> y² se termine par 1 -> 5 + y² se termine par
6
Donc x² (=(5+y²)/2) se termine soit par 3 , 2 , 0 ou 5
si x se termine par 1 -> x² se termine par 1 -> ne convient pas.
si x se termine par 2 -> x² se termine par 4 -> ne convient pas.
si x se termine par 3 -> x² se termine par 9 -> ne convient pas.
si x se termine par 4 -> x² se termine par 6 -> ne convient pas.
si x se termine par 5 -> x² se termine par 5 (Voir si cela convient)
si x se termine par 6 -> x² se termine par 6 -> ne convient pas.
si x se termine par 7 -> x² se termine par 7 -> ne convient pas.
si x se termine par 8 -> x² se termine par 4 -> ne convient pas.
si x se termine par 9 -> x² se termine par 1 -> ne convient pas.
si x se termine par 0 -> x² se termine par 0 -> (Voir si cela convient)
Donc s'il y avait des solutions, ce serait pour: y se terminant par
5 et x se terminant soit par 0, soit par 5. (1)
On a donc: x = 5k et y = 5k' k et k' entiers.
2x² = 5 + y² ->
2*25k² = 5 + 25k'²
50k² = 5 + 25k'²
10k² = 1 + 5.k'²
Le reste de la division par 5 du membre de gauche est 0.
Le reste de la division par 5 du membre de droite est 1.
-> C'est impossible.
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Sauf distraction.
Vérifie plutôt 2 fois qu'une.
modulo 5, l'équation devient : 2x²=y²[5] (= a remplacer par
congru à)
Valeurs possibles de
x x² 2x² y y² modulo 5
0 0 0 0 0
1 1 2 1 1
2 4 3 2 4
3 4 3 3 4
4 1 2 4 1
L'égalité est obtenue avec x=0[5] ET y=0[5]
soit x = 5k et y = 5k' (on revient au signe égale)
L'équation de départ est donc :
2.(5k)²-(5k')²=5
10k²-5k'²=1
10k²=5k'²+1
5 divise 10k², et 5 divise 5k'² donc 5 devrait diviser 1, ce qui
n'est pas le cas, donc l'équation ,n'a pas de solution.
Ta recherche m'a inspiré, merci.
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