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Distance à l'origine avec le logarithme népérien
Quelques questions dans mon DM me posent problème, je vous donne l'énoncé:
Soit C la courbe représentative de la fonction ln(x) dans un repère orthonormal (O; 
; 
) du plan. On se propose d'étudier le minimum de la distance C à l'origine O du repère.
1/ Soit M un point de C d'abscisse x. Exprimer d(O;M) en fonction de x.
2/Justifier que les fonctions h(x)=d(O;M) et q(x)=x^2 + (ln x)^2 ont les mêmes variations.
Ce sont les seules petites questions qui me posent problème, ça fait une semaine que je cherche, mais sans succès, mon DM est à rendre demain, je sais bien que je demande de l'aide un peu tard, mais je vous remercie si vous me répondez.
Bonne soirée à tous!
Bonjour,
Si M est sur C, ses coordonnées sont (x, ln(x))
La distance entre O et un point de coordonnées (x;y) est x²+y²
Soit M un point de C d'abscisse X, on a : M(X ; ln(X))
OM² = X² + ln²(X)
d(0;M) = V[X² + ln²(X)] (avec V pour racine carrée).
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q(x) = x² + ln²(x)
Dq : ]0 ; +oo[
q'(x) = 2x + (2/x).ln(x)
h(x) = d(O;M)
h(x) = V(x² + ln²(x))
Dh : ]0 ; +oo[
h'(x) = (2x + (2/x)ln(x))/[2.V(x² + ln²(x))]
h'(x) = q'(x)/[2.V(x² + ln²(x))]
Comme [2.V(x² + ln²(x))] > 0 sur ]0 ; +oo[, h'(x) a le signe de q '(x) et donc h(x) et q(x) ont les mêmes variations.
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Recopier sans comprendre est inutile.
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