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Distance au groupe orthogonal.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur 09-06-06 à 00:47

Bonjour;
(*)M_n(\mathbb{R}) est muni de la structure euclidienne définie par le produit scalaire 2$\fbox{<M|N>=trace(^tMN)}
(*)2$\fbox{O_n(\mathbb{R})=\{P\in M_n(\mathbb{R})\hspace{5}/\hspace{5}^tPP=I_n} ( I_n désignant la matrice unité de M_n(\mathbb{R}) )
(*)Pour M\in M_n(\mathbb{R}) on sait que la matrice ^tMM est symétrique positive et il existe donc une matrice orthogonale P et des réels positifs a_1,..,a_n tels que 2$\fbox{^tMM=^tP.Diag(a_1,..,a_n).P}
on note alors 2$\fbox{sqrt{^tMM}=^tP.Diag(sqrt{a_1},..,sqrt{a_n}).P}

Question:
Montrer que 4$\blue\fbox{\forall M\in M_n(\mathbb{R})\\d(M,O_n(\mathbb{R}))=||sqrt{^tMM}-I_n||}

Posté par
kaiser Moderateurre : Distance au groupe orthogonal. 09-06-06 à 09:59

Bonjour elhor

Tout d'abord, je pensais utiliser la décomposition polaire. Ainsi, il existe une matrice symétrique R positive et Q une matrice orthogonale telle que M=QR.
Ensuite, par un calcul simple, on se rend compte que \Large{R=\sqrt{^{t}MM}} (en effet, on sait que pour toute matrice S positive, il existe une unique matrice symétrique positive R telle que R²=S).

Alors pour toute matrice orthogonale T,

\Large{||M-T||=||QR-T||=||Q(R-Q^{-1}T)||=||R-Q^{-1}T||} (la dernière égalité se vérifie aisément).

Or, \Large{O_{n}(\mathbb{R})} étant un groupe, l'application \Large{T\mapsto Q^{-1}T} est une permutation de cet ensemble.

Ainsi, \Large{d(M,O_{n}(\mathbb{R}))=\inf_{T\in O_{n}(\mathbb{R})}||M-T||=\inf_{T\in O_{n}(\mathbb{R})}||R-Q^{-1}T||=\inf_{T\in O_{n}(\mathbb{R})}||R-T||=\inf_{T\in O_{n}(\mathbb{R})}||\sqrt{^{t}MM}-T||}.
Il suffit alors de montrer que pour toute matrice orthogonale T, \Large{||\sqrt{^{t}MM}-T||^{2}\geq ||\sqrt{^{t}MM}-I||^{2}}.

Soit donc T une matrice orthogonale quelconque, alors :
\Large{||\sqrt{^{t}MM}-T||^{2}=Tr(^{t}(R-T)(R-T))=Tr((R-^{t}T)(R-T))=Tr(R^{2}+I_{n}-(^{t}TR+RT))}

Il suffit donc de montrer l'inégalité \Large{Tr(^{t}TR+RT)\leq 2Tr(R)} et on aura gagné.

On a d'abord \Large{Tr(^{t}TR+RT)=2Tr(RT)} (car R est symétrique et la trace est invariante par transposition).

Avec les notations d'elhor, \Large{RT= (^{t}PDPT)} (avec \Large{D=Diag(\sqrt{a_{1}},..\sqrt{a_{n}})}), donc \Large{Tr(RT)=Tr(^{t}PDPT)=Tr(DPT^{t}P)}.
Appelons U la matrice \Large{PT^{t}P} et notons \Large{(u_{i,j})} ses coefficents.
Comme la matrice D est diagonale, alors les coeffients diagonaux de DU sont les
\Large{\sqrt{a_{i}}u_{i,i}} avec i compris entre 1 et n.
par suite, \Large{|Tr(DU)|=\|\bigsum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}}u_{i,i}\|\leq \bigsum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}}|u_{i,i}|\leq \bigsum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}}=Tr(D)=Tr(R)}, d'où le résultat.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Distance au groupe orthogonal. 09-06-06 à 10:20

J'ai oublié de justifier une chose : U est une matrice orthogonale comme produits de matrices orthogonales. C'est pourquoi tous ses coefficients sont, en valeur absolue, majorés par 1.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Distance au groupe orthogonal. 09-06-06 à 22:50

Bonjour kaiser;
je n'avais pas pensé à la décomposition polaire mais apparemment cela devrait marcher je ferai un autre post


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