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Distance d un point à un plan.

Posté par Tramber (invité) 20-05-05 à 16:57

Bonjour.

Je travaille quotidiennement à la programmation d'une CAO (AutoCAD).

Et j'ai un problème tout à fait particulier à régler qu'il m'est difficile de résoudre seul.
Je tiens à préciser que j'écris sans honte d'avoir oublié à peu près tout ce que j'ai appris à l'école.
Mon usage quotidien des maths ne dépasse pas les fonctions trigo.

J'ai 3 points Pi=(Xi,Yi,Zi) dont je connais X Y et Z.
Je vais itérer le long d'une courbe avec mes outils pour trouver un point P4 contenu dans le plan défini par Pi et appartenant à la courbe.

Il me faut donc exprimer la distance d'un point par rapport à un plan, histoire de chercher le mini.

J'ai la formule suivante (donnée par une amie) :
DistanceHP4=
X4 . determinant((Y1 Z1 1)(Y2 Z2 1)(Y1 Z2 1))
+
Y4 . determinant((X1 Z1 1)(X2 Z2 1)(X1 Z2 1))
+
Z4 . determinant((X1 Y1 1)(X2 Y2 1)(X3 Y3 1))
-
determinant((X1 Y1 Z1)(X2 Y2 Z2)(X3 Y3 Z3))

Or le résultat de son application est mauvais. Je trouve des distances pharamineuses là où j'attends qqes millimètres !
La formule est-elle la bonne pourtant ? Ca me dépasse.

Sinon, je peux passer par la formule donnée ici :
http://homeomath.imingo.net/displan.htm
mais, honte à moi, je suis incapable de reconstruire ax + by + cz + d = 0 à partir de mes données Pi=(Xi,Yi,Zi).
C'est peut-être une deuxième piste facile si je peux facilement retrouver a,b,c,d à coup sur.

Merci de vérifier ma première éq ou de m'aiguiller sur la deuxième solution

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 17:22

Quelques mots seulement sur le sujet.

Etant donné le plan Ax + By +Cz + D = 0 et le point P(x0, y0, z0), la distance de P au plan est exprimée par :
et le point P(x0, y0, z0), la distance de P au plan est exprimée par :

d= \frac{|(Axo + Byo + Czo + D)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
-----
Pour retrouver l'équation du plan à partir des coordonnées de 3 de ses points:
On a le système:

Ax1 + By1 +Cz1 + D = 0
Ax2 + By2 +Cz2 + D = 0
Ax3 + By3 +Cz3 + D = 0

On a un degré de liberté puisque on a un système de 3 équations à 4 inconnues, on choisit arbitrairement A = 1 par exemple:

On a alors:

x1 + By1 +Cz1 + D = 0
x2 + By2 +Cz2 + D = 0
x3 + By3 +Cz3 + D = 0

Système de 3 équations à 3 inconnues dont on trouve facilement les solutions (manuellement ou par un logiciel adapté).

On a alors l'équation du plan sous forme: x + By +Cz + D = 0 (car A = 1) et on applique la formule donnée au début pour trouver d.
-----
Remarque, cela peut foirer pour des plans particuliers (ceux qui exigeraient A = 0, si c'est le cas, on fait la même chose en imposant A = 0)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 17:36

Petite aide complémentaire pour trouver B, C et D avec le système.

x1 + By1 +Cz1 + D = 0  (1)
x2 + By2 +Cz2 + D = 0  (2)
x3 + By3 +Cz3 + D = 0  (3)

(1) ->
D = -x1 - By1 -Cz1

Dans (2) et (3) -->

x2 + By2 +Cz2 -x1 - By1 -Cz1 = 0  (4)
x3 + By3 +Cz3 -x1 - By1 -Cz1 = 0  (5)

(4) ->
x2 + B(y2-y1) + C(z2-z1) - x1 = 0
B = [x1-x2 - C(z2-z1)]/(y2-y1)   (6)

dans(5) -->
x3 + y3.[x1-x2 - C(z2-z1)]/(y2-y1) +Cz3 -x1 - y1.[x1-x2 - C(z2-z1)]/(y2-y1) -Cz1 = 0  

C[(y1(z2-z1)/(y2-y1)) - (y3.(z2-z1)/(y2-y1)) + z3 - z1] = (y1(x1-x2)/(y2-y1)) - (y3(x1-x2)/(y2-y1)) + x1 - x3

C[y1(z2-z1) - y3.(z2-z1) + (z3 - z1)(y2-y1)] = y1(x1-x2) - y3(x1-x2) + (x1-x3).(y2-y1)

C = [ y1(x1-x2) - y3(x1-x2) + (x1-x3).(y2-y1)]/[y1(z2-z1) - y3.(z2-z1) + (z3 - z1)(y2-y1)]

On a la valeur de C.

On la remet dans (6) et on a la valeur de B.

Et ensuite on trouve D par D = -x1 - By1 -Cz1
----
On doit mettre cela facilement en musique.

Vérifie mes calculs, je suis distrait et ne relis rien.  

Posté par Tramber (invité)merci de répondre 20-05-05 à 17:44

Il est possible que je me débrouille avec cette solution, je m'y atèle maintenant d'ailleurs.

Mais ma première solution a-t-elle sa formule, celle-ci vous parait-elle correcte ?

Posté par Tramber (invité)OK 20-05-05 à 17:49

Je vais tacher de me débrouiller autrement.

J'ai des outils de traitement de matrice et vais voir en ce sens.

Mais pour une musique qui tourne allegro, la formule du début me serait tellement pratique et sure

Merci de m'aider à avancer, le résultat en image de synthèse est garanti (.....si je passe par la première formule ) et je le publierai ici !

Posté par Tramber (invité)re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 19:02

J-P

Je suis arrivé à mon but avec Ax+By+Cz+D=0, en utilisant la matrice inverse et en fixant D. L'enfance de l'art pour obtenir l'équation et appliquer la formule.

Maintenant j'ai un gros problème.

Cette distance est en valeur absolue !

Or j'ai besoin d'itérer autour de valeurs positives ou négatives(l'ordre des Pi restant le même dans mes calculs). ou de savoir si je suis au dessus ou en dessous

  argh....j'étais sur que la première formule m'aurait mieux servi !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 19:10

La méthode que j'ai décrite se résume en un calcul en 4 lignes. (sauf cas particuliers, mais qui vont probablement aussi embêter l'autre méthode).
Aux erreurs de calculs près:

C = [(x1-x2)(y1-y3)+(x1-x3)(y2-y1)]/[(z2-z1)(y1-y3)+(z3-z1)(y2-y1)]
B = [x1-x2 - C(z2-z1)]/(y2-y1)
D = -x1 - By1 -Cz1
d = abs(xo+B.yo+C.zo+D)/sqrt(1+B^2+C^2)
-----
L'autre technique est-elle plus rapide en temps de calculs ?




Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 19:16

Je n'avais pas vu ta dernière intervention.

C'est clair qu'une distance est donnée en valeur absolue.

Je suppose que tu préférerais un signe en fonction du fait que le point est d'un cotés ou de l'autre du plan.

Je n'ai pas réfléchi pour voir si le signe qu'on aurait pour d dans l'expression que j'ai donnée mais en enlevant la valeur absolue du numérateur représenterait ou non le coté du plan où se trouve le point, mais c'est possible.





Posté par Tramber (invité)re : Distance d un point à un plan. 20-05-05 à 21:37

J'ai enlevé la valeur absolue.

C'était bête et méchant.

Bon, les choses se présentent bien même si je suis décu, pour des raisons de précision de calcul, de ne pas avoir corrigé ma première solution.

Merci pour tout

Tramber

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Distance d un point à un plan. 21-05-05 à 17:21

Les précisions de calculs ne dépendent que du type de variables choisi pour faire les calculs, mais les temps de calculs également, évidemment.



Posté par scar (invité)Cas particuliers... 16-06-05 à 11:41

Bonjour a vous

J-P (Correcteur)>La méthode que j'ai décrite se résume en un calcul en 4 lignes. (sauf cas particuliers, mais qui vont probablement aussi embêter l'autre méthode).

Effectivement, je suis dans un de ces cas particuliers. Mon plan (3 points) est parrallèle au plan 0xz, ce qui fait que le calcul de C devient impossible.

Mes connaissances en maths n'allant pas assez loin, auriez vous un moyen de contourner ce cas, ( en modifiant légèrement les calculs par exemple) ?

Merci.
Scar.

Posté par scar (invité)Cas particuliers... 17-06-05 à 10:25

Please.......help....me..........



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