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Niveau seconde
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Distance Minimale

Posté par
ZoZo22
15-12-16 à 18:55

Je suis nouveau sur le site donc je ne connait pas encore comment il marche mais j'aimerai que vous m'aidiez pour mon DM de MATH
Alors j'ai une question car je galère énormément pour mon DM de math
Je ne vos vraiment pas comment faire

[AB] est un segment de 8cm
Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB) et
AC= 3cm et BD = 6cm
Mest un point du segment [AB]

Problème: Ou placer le point M sur le segment [AB] de telle sorte que la distance MC+MD soit minimale ?

Donc en gros j'aimerai savoir comment placer le point M  sur le segment [AB] de telle sorte que la distance MC+MD soit minimale

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:02

Bonjour,

1) méthode algébrique :

mise en équation : soit x la distance AM

calculer MC par Pythagore, en fonction de x
calculer MD par Pythagore, en fonction de x

la distance MC+MD est donc un e fonction de x : MC+MD = f(x)

étudier f(x) pour en chercher le minimum.

(mais en seconde ? il n'y aurait que la calculette pour obtenir in valeur approchée)


2) méthode géométrique soit D' le symétrique de D par rapport à (AB)

MD' = MD et donc MC + MD = MC + MD'
étudier ce nouveau trajet MC + MD'
(inégalités triangulaires)

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:17

Mais cela ne m'explique pas vraiment comment faire pourrais tu simplifier stp

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:31

j'ai expliqué comment faire

maintenant si tu attends une solution toute cuite tu t'es trompé de site

tu dois écrire, et faire ce que je te propose de faire ...

solution algébrique : écrire Pythagore etc

solution géométrique : faire effectivement la figure avec D' etc

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:39

non je ne veux pas une réponse écrite mais juste que tu simplifie comme tu l'a fais
Mrc

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:42

Mais ce que je ne comprend pas c par ou doit passer D' car je ne suis pas très doué en math et je me perd assez facilement

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:48

dans la solution géométrique donc.

D' est un point
<< par où doit passer D' >> ne veut rien dire.

D' est défini dans ce que j'ai écrit :

Citation :
soit D' le symétrique de D par rapport à (AB)

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:50

je précise que la figure est composé de 2 triangles
Un triangle rectangle ACM et un autre triangle rectangle MBD

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 19:55

oui, ça on a compris (c'est pour ça que Pythagore dans la solution algébrique)
en plus C et D sont du même côté de (AB), sinon c'est immédiat

et donc pour la solution géométrique tu crées le point D' comme indiqué.

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:03

Je ne comprend pas vraiment comment faire tu pourrais me réexpliquer plus simplement stp car comme je te l'ai dis je me perd facilement en math

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:21

tu as oublié ce que voulait dire le symétrique d'un point par rapport à une droite ????
(6ème / 5ème)

Distance Minimale

on cherche pour quelle position de M le trajet C-M-D', qui a même longueur que le trajet demandé C-M-D, est minimum

et je te parlais d'inégalité triangulaires (autrement dit "la distance la plus courte entre deux points est la ligne droite") ...

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:22

Non je sais ce que la symétrie mais je pensais pas vraiment l'utiliser comme ca

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:34

Bah en gros la je fais le début de la figure mais je n'arrive pas à placer M comment faire ( je sais je suis chiant mais je suis pas très doué dans ce que je fais )

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:41

tu ne places pas M directement là où la distance sera minimum, tu la cherches cette position
tu penses la trouver avant de l'avoir cherchée ???

donc tu commences par le placer absolument n'importe où sur [AB] pour avoir juste une figure "de principe" sur laquelle baser un raisonnement

sa position exacte tu ne la connaîtra que une fois l'exo terminé
ne pas mettre la charrue avant les boeufs, ça provoque un blocage mental.

et c'est ce que je t'ai dit, ce raisonnement
je t'ai fait ( = rédigé et tout) 90% de l'exo !!!

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:48

Ok je viens de placer le point M comme tu me l'a dis, je constate que MD = MD' après ?? je vois vraiment pas le truc

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:54

Donc en gros je vois pas comment trouver la distance minimale

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 20:57

en sachant que je n'ai jamais vus les inégalités triangulaires

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:00

cette solution (par la géométrie) se rédige en exactement 4 lignes en tout. et je t'en ai écrites trois !!

1ère ligne : soit D' le symétrique de D par rapport à (AB) (déja dit)
2ème ligne : MD = MD' par symétrie, donc MC + MD = MC + MD' (déja dit)
3ème ligne : le trajet (C-M-D') le plus court entre deux points (C et D') est la ligne droite (déja dit)
(alias CM + MD' ≤ CD', inégalité triangulaire) (déja dit)
4ème ligne , donc C-M-D' doivent être ... et M est ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:05

Citation :
je n'ai jamais vus les inégalités triangulaires

menteur. dis que tu as oublié.
dans tout triangle chacun des côtés est inférieur à la somme des deux autres.
c'est ça.

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:07

Je n'ai pas appris le terme inégalité triangulaire du moins peut etre que je l'ai fais d'une autre manière mais je ne me souviens pas avoir vus ce terme

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:09

Je suis vraiment dsl mais je ne vois  vraiment pas comment faire je sais parfaitement que je dois etre chiant mais je n'arrive pas à comprendre

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:16

Je dois aller me coucher dsl j'espere que demain tu pourras de nouveau m'aider stp voila merci pour ce que tu as dejà fait

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 15-12-16 à 21:17

4ème et dernière phrase (et l'exo que tu n'as PAS fait, c'est moi qui l'ai fait) est terminé :

4ème ligne , donc C-M-D' doivent être alignés et M est l'intersection de la droite (CD') avec (AB)

histoire que tu fasses tout de même quelque chose dans cet exo ...,
et histoire de faire des choses niveau seconde et pas niveau 5ème :
calculer la distance AM en utilisant le théorème de Thalès dans MAC / MBD'
(on pourra appeler x la mesure de AM et alors BM = ...)

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 18:39

Mais du coup pour si je calcul AB j'aurais la distance la plus courte non ??

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 18:39

AM dsl

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 18:59

mais comment faire en sachant que je n'ai pas de parallèle ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 06-01-17 à 19:44

la distance la plus courte c'est le segment de droite CD'
il se calcule par Pythagore (ajouter un point, réfléchir)

mais ce qu'on demande surtout est la position de M, et ça c'est avec Thalès.

pas de parallèles ??? ah bon ?? et AC et BD sont bien toutes deux perpendiculaires à AB (c'est écrit dans l'énoncé), donc parallèles entre elles !

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 19:55

Mais j'ai l'impression qui me manque un truc pour faire thales

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 19:56

AM = 2,63 ???

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:10

le résultat on s'en fiche
c'est la méthode et les calculs...
(ça ne se fait pas en mesurant au double décimètre)
Thalès ça s'écrit d'abord avec des lettres (entièrement avec des lettres) et ensuite on voit ce qu'on cherche et ce qu'on connait là dedans

et ici ne pas oublier que AM + MB = AB = 8 cm donc MB = 8 - MA, et on remplace,
il ne reste plus dans les rapports de Thalès (dans ceux qui sont utiles) qu'un seul truc inconnu : MA

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:11

Eh bien enfaite j'ai pas fais comme ca ni en mesurant j'ai fais avec pythagore puis f(x) ect..

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:17

eh bè ...
et tu obtiens ce résultat faux comment ??
(détails de tes calculs)

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:24

CM au carré =x carré + CA carré
CM au carré =x carré + 3 carré
CM au carré=x carré +9
CM = racine carré de 9+x carré

DM au carré = DB carré + 8- x carré
DM au carré = 6 carré + 8 - x carré
DM au carré = 36 + 8 - x carré
DM = racine carré 36 + (8- x) le tout au carré


f(x) = racine carré de 9 +x carré + racine carré de 36 + (8 - x) le tout au carré

( a faire à la calculette )

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:28

J'ai peut etre oublié de dire que dans la consigne x = AM

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:38

Mais je comprend toujours pas comment trouver la distance MC+MD soir minimale

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:54

calculs illisibles par absence de parenthèses nécessaires
et par écriture "verbeuse" avec des "au carré" etc en texte au lieu d'écrire un 2 en exposant

CM au carré =x carré + CA carré
s'écrit CM² (touche de clavier) ou CM2 (bouton X2 de l'ile) ou CM^2 (convention)

f(x)= (9 +x²)+ (36 + (8 - x)²)

le est dans les symboles de l'ile, via le bouton

donc tu as "fait" à la calculette

et bien le 2,63 est faux
soit tu dis 2,6 parce que tu n'as pas plus de précision
soit tu calcules avec d'avantages de chiffres après la virgule pour pouvoir arrondir correctement ta valeur

parce que 2,63 ça veut dire entre 2,625 et 2,635 (c'est faux)

"je comprend toujours pas"
eh bien, une fois les calculs précis faits à la calculette, ton exo est terminé.

que tu ne le comprennes pas est ton affaire maintenant : relis tout ce qu'on a dit, tout y est.
à part redire ce qui a déja été dit je ne vois vraiment rien à ajouter.

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 06-01-17 à 20:56

Sa y'est j'ai compris est j'ai marqué a peut pres egale à 2,63 et merci encore pour tes conseilles

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 06-01-17 à 21:08

non
à peu près égal à 2,66 ou 2,67 je veux bien
ou à peu près égal à 2,6 ou 2,7
mais pas 2,63

vu que la valeur exacte obtenue avec Thalès est 8/3 = 2,6666666...

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 07-01-17 à 18:58

DSL j'avais pas vus ton dernier post mais du coup comment j'applique Thales je croit qu'il me manque un mesure ?

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 07-01-17 à 19:01

et pourquoi 8/3 ?

Posté par
ZoZo22
re : Distance Minimale 07-01-17 à 19:11

Et encore merci pour cette méthode géometrique j'ai compris maintenant

Posté par
camelia2422
re : Distance Minimale 27-12-18 à 10:35

Bonjour j ai aussi cet exo à faire et je ne comprends pas le 8/3 car si j applique thales ça fait AM/MB=CM/MD'=AC/BD donc x/8-x = 3/6 donc x = (3*(8-x))/6

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 27-12-18 à 11:47

tu as des x des deux côtés !! ça n'aboutit à rien : tu n'as toujours pas la valeur de x ainsi
bien que tu le croies avec ton x = ...
ça ne sert à rien du tout si on en reste là vu que de l'autre côté ce n'est pas une valeur connue ! (il y a encore des x dedans )

x/(8-x) = 3/6 oui
parenthèses rouge absolument obligatoires sinon ça veut dire qu'on divise x par 8, puis ensuite que à ce résultat x/8, on retranche x (priorité des opérations, cours de 5ème)

x = (3*(8-x))/6 oui mais pourquoi si inutilement compliqué et en direction d'une impasse mentale ? (croire qu'on a résolu quoi que ce soit)
en plus cette fois tu rajoutes une paire de parenthèses inutiles 3*(8-x)/6 suffisait (priorité des opérations toujours)

chez moi le "produit en croix" donne 6x = 3(8-x) plus simplement !!
donc maintenant résous correctement cette équation :
développer, mettre tous les x du même côté etc
on peut même commencer par simplifier par 3 dés le départ vu que 6 est un multiple de 3 !
ça ira encore plus vite.

Posté par
camelia2422
re : Distance Minimale 27-12-18 à 13:08

Donc 6x=24-3x
6x+3x =24
9x=24
x=24/9
x=8/3
Mrc c était évident mais je bloquais...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 27-12-18 à 13:12

c'est tout de même plus simple si on commence par simplifier les fractions !!

x/(8-x) = 3/6 = 1/2 etc

ce réflexe doit être automatique : on simplifie les fractions

Posté par
superninie
re : Distance Minimale 24-12-20 à 16:26

Bonjour,
Je me permets de reprendre cet échange car j'ai exactement le même énoncé auquel se rajoute la détermination de l'ensemble de définition de f et écrire un algorithme qui permet de préciser la position de M à 10^-3 près sur [AB] et d'estimer la longueur minimale.
Pour l'ensemble de définition, sachant que x appartient à [0;8] et que MC+MD aura un maximum de 17 par l'inégalité triangulaire, est-ce que je peux mettre que Df est un réél positif ou dois-je résoudre f(x)= (9 +x²)+ (36 + (8 - x)²)?
Ensuite, pour l'algorithme, est-ce que le raisonnement de calculer la dérivée de f pour déterminer en quelle valeur elle attend son minimum est judicieux?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 24-12-20 à 16:40

Bonjour,

l'ensemble de définition c'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles le calcul de f(x) est possible et a un sens,.
"sachant que x appartient à [0;8]" eh bein c'est juste ça l'ensemble de définition
l'intervalle [0; 8]

pour trouver le minimum, oui calculer la fonction dérivée (à la main)
puis faire un algorithme qui cherche la solution de f'(x) = 0
(par une des méthodes d'approximation successives)

Posté par
superninie
re : Distance Minimale 26-12-20 à 23:18

Bonsoir,
Sachant que f(x)=(9 +x²)+ (36 + (8 - x)²),
f'(x)=2x/2(9+x²) + (2x-16)/2(x²-16x+100).
Mais pour résoudre f'(x)=0, quelle est la meilleure méthode entre:
mettre au même dénominateur,
multiplier par la quantité conjuguée, ou
faire apparaître 2 fractions égales et utiliser l'égalité des produits en croix.
En espérant être clair.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Distance Minimale 27-12-20 à 12:15

Bonjour,

faudrait déja simplifier (par2), tant qu'à faire...

ensuite ça reviendra au même au final.
si on n'oublie pas les bonnes précautions quand on élève au carré

Posté par
superninie
re : Distance Minimale 28-12-20 à 21:55

Bonsoir,
En posant les bonnes précautions, à la main, j'en arrive à dire que x=8/3.
Mais voila, moi on me demande: "Ecrire un algorithme qui permet de préciser la position de M à 10^-3 près sur [AB] et d'estimer la longueur minimale."
@mathafou Peux-tu m'expliciter ton conseil qui me disait: "de faire un algorithme qui cherche la solution de f'(x) = 0 (par une des méthodes d'approximation successives)" ?

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