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Distance minimale entre ln(x) et exp(x)
Bonjour,
Je bloque actuellement sur plusieurs question d'un exercice.
Pour être dans le contexte, on est ici sur 2 courbes, Cf et Cg respectivement représentatives de ln(x) et de exp(x). Le point M(x;ln(x)) appartient à Cf et le pt N(ln(x);x) (symétrique) appartient à exp.
Soit la fonction h définie sur ]0;+ infini[ par h(x)=√2 |ln(x)-x|
a. Montrer que pour tout réel x>0, MN=h(x).
b. Montrer que pour tout réel x, MN≥√2 et donner la valeur pour laquelle cette distance minimale est atteinte.
c. Déterminer la limite de h(x) lorsque x tend vers + l'infini. Que peut-on en déduire sur les courbes de ln et de exp?
Mon pb est que je bloque dès la question a... En appliquant la formule de distance entre 2 points, je trouve MN=√2 . Seulement, je dois trouver MN=√2 |ln(x)-x|. J'ai déjà fouillé un peu sur le net, mais les seules réponses que j'ai trouvées résultaient également à √2 ...
Je dois sûrement passer à côté de quelque chose, mais quoi?
Merci d'avance!
Et si tu fais un dessin, si tu prends un point sur la courbe ln et le point associé sur la courbe exp, tu dois bien voir que la distance n'est pas toujours la même.
De manière générale, pour 2 points A(xa,ya) et B(xb,yb),comment calcules-tu la distance AB ?
Et bien en remplaçant par les coordonnées de M et N, j'obtiens √(ln(x)-x)2+(x-ln(x))2.
Au départ j'avais remplacé par des valeurs numériques, c'est pourquoi je trouve uniquement √2, mais même là, je coince pour le développement afin d'arriver à h(x)
Je n'y avais pas du tout pensé...
Alors, on obtient :
MN=√2(ln(x)-x)2
=√2*√(ln(x)-x)2
=√2*(ln(x)-x)
Et comme il s'agit d'une longueur, on passe en valeur absolue et donc MN=√2*|ln(x)-x| ?
(a2)=|a|J'utilise la formule AB=√(xb-xa)2+(yb-ya)2
Quelle est la bonne formule?
Et merci à larrech pour ton aide!
il faut absolument des parenthèses pour montrer ue la racine carrée s'applique à tout ce qui suit ...
j'ai mis des crochets pour rendre plus lisible l'expression ... puisqu'il y a déjà des parenthèses ...
Dans le doute, il faut toujours préciser.
ou
ce n'est pas la même chose.
Nous, humains, on se doute bien que tu pensais à la 2ème formule. Mais si tu écris ta formule dans un programme informatique, ou sur une calculatrice, ou dans un tableur comme Excel, le résultat que tu vas obtenir, c'est la 1ère formule.
Donc il FAUT être rigoureux dans les formules.
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