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Distance moyenne au foyer d'une ellipse

Posté par
Revelli 21-12-06 à 17:11

Bonjour,

Je souhaiterais disposer de la démonstration suivante:

- soit un point M parcourant une ellipse de foyer F et F' avec un grand axe valant 2a (soit MF+MF'=2a)

- alors la distance moyenne du point M effectuant un tour complet à l'un des foyers est égale au demi grand axe de l'ellipse, soit a.

Merci d'avance

Revelli

Posté par gaetanlcs (invité)re : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 17:42

ben, moi j'ai pas 'a' comme valeur moyenne (sauf erreur).
une ellipse c'est :

x(t)=a cos(t)
x(t)=b sin(t)
t \in [0 2\Pi]

foyer F(0, c), c = \sqrt{a^2-b^2}

d : distance de M à F

d^2 = (a cos(t)-c)^2 + (b sin(t))^2

d^2 = a^2 cos^2(t)-2ac cos(t) + c^2 + b^2 sin^2(t)

<d^2> =\frac{1}{2\Pi} \int_{0}^{2\Pi}( a^2 cos^2(t)-2ac cos(t) + c^2 + b^2 sin^2(t) )dt

<d^2> =\frac{1}{2\Pi} ( a^2 \Pi +2 \Pi c^2 + b^2 \Pi )

<d^2> = 2 a^2 +a^2 - b^2 + 2 b^2

<d^2> = 3 a^2 + b^2

mais j'y pense maintenant, <d^2> c'est pas <d>^2 !!!
grave erreur !! , un beau TEX pour rien...
enfin, voilà une méthode...
mais avec une \sqrt{d^2} elle est beaucoup moins cool...

Posté par
Revellire : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 17:56

Gaetanlcs,

Merci tout de même

Je suppose que la seconde équation paramétrique est y(t)=bsint et que l'origine du repère considéré est le centre du cercle générateur de l'ellipse (ou bien plus simplement le milieu de FF')

D'après toi, pourquoi dans le cas qui nous occupe la valeur moyenne du carré ne serait-elle pas égale au carré de la valeur moyenne recherchée?

Sinon, peut-être quelqu'un d'autre a-t-il une autre idée pour nous aider!

Bon courage

Revelli

Posté par
infophilere : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:05

Bonsoir Revelli

Posté par gaetanlcs (invité)re : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:18

simple exemple :

moyenne de 2 et 3 : 2.5
moyenne de 4 et 9 : 6.5
et on n'a pas \sqrt{6.5} = 2.5

Posté par
lafol Moderateurre : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:20

Bonjour
une preuve sans intégrale :
MF+MF'=constante = 2a, donc par linéarité de la moyenne
moyenne de MF + moyenne de MF' = moyenne (2a) =2a
Par symétrie, moyenne de MF = moyenne de MF', donc toutes les deux égales à a, non ?

pour la différence entre moyenne des carrés et carré de la moyenne, c'est la variance.

Posté par
Revellire : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:30

Bonjour,

Merci à tous, notamment pour les rappels de base

J'apprécie beaucoup la démonstration par la symétrie: j'y avais en effet aussi pensé mais cela me semblait trop simple!

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?

A bientôt

Revelli

Posté par
lafol Moderateurre : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:51

Citation :
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?

Encore un qui a été marqué à vie par la taupe !

Posté par gaetanlcs (invité)re : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 18:55

exact, c'est là qu'on apprend a écraser des mouches à coup de marteaux pilons...

Posté par
lafol Moderateurre : Distance moyenne au foyer d'une ellipse 21-12-06 à 19:00

C'est pourtant là que j'ai appris à organiser mes calculs pour ne pas me laisser submerger par eux mais au contraire en faire ce que je voulais. Merci Mémé (ses 4 initiales totalisaient 3 M d'où son surnom)


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