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distribution normale
Bonjour
f est la fonction de densité d'une loi normale.
X variable aléatoire suit N(m, sigma)
On considère deux intervalles d'entiers I1 et I2, de même longueur, tels que:
I1 centré sur m et I2 à droite ou à gauche de m.
A tout xi de I1 ou I2, son image est yi=f(xi), (xi entier)
On considère les deux échantillons e1 et e2 de valeurs observées yi
( c'est un exemple personnel, je ne sais pas si je rédige bien!)
Je pense bien que l'échantillon e1 est distribué normalement mais que peut on dire de l'échantillon e2 ?
Merci pour vos commentaires
Bonjour,
j'ai du mal à voir en quoi ton échantillon statistique est aléatoire, on obtient toujours le même non?
Bonjour weierstrass
Comme je l'avais précisé, ma rédaction du sujet est mauvaise!
j'ai écrit:
On considère les deux échantillons e1 et e2 de valeurs observées yi
Plutôt les xi sont les valeurs observées et les yi sont les effectifs.
Bien sûr ce n'est pas aléatoire mais c'est pour "construire" un échantillon de distribution normale pour e1 et non normale pour e2.
Remarque: peut être c'est naïf de ma part!
J'aurais pu poser la question suivante: comment générer des valeurs qui seraient distribuées normalement en se servant de la fonction f ?
On part un petit peu dans le sens inverse de la logique, qui voudrait qu'à partir d'un échantillon, on trouve la loi aléatoire qui le décrit. Mais il existe plusieurs manière d'obtenir un échantillon qui suit une loi donnée.
La première méthode la plus simple est de calculer la bijection réciproque de la fonction de répartition.
la fonction de répartition est la fonction associant à x l'intégrale de à x (définie car son intégrale sur
est 1)
Une fonction f est bijective de A dans B si pour tout élément b de B, il existe un unique (pas 0, pas plusieurs) élément a de A tel que f(a) = b.
Par exemple, 3x est bijective de dans
ou de
dans
n'est pas bijective de
dans
car -1 n'admet pas d'antécédent. Elle n'est pas non plus bijective de
dans
car 4 possède deux antécédents (-2 et 2). Par contre, elle est bijective de
dans
.
Le théorème de la bijection donne un bon moyen de trouver des fonctions bijectives:
si une fonction est monotone (strictement croissante ou décroissante) et continue sur un intervalle alors elle est bijective de
dans
. ca permet d'ailleurs de démontrer le théorème des valeurs intermédiaires, que tu as sans doute du voir.
La bijection réciproque est définie pour les fonctions bijectives, elle associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par f.
Il faut donc calculer la bijection réciproque de la fonction de répartition. Par exemple, si l'on prend la loi uniforme sur [a,b] sa fonction de densité est sa fonction de répartition
et sa bijection
Si tu as un échantillon suivant la loi uniforme sur [0,1] et que tu lui appliques cette fonction réciproque, tu obtiendra un échantillon suivant la loi uniforme sur [a,b]
On peut d'ailleurs remarquer que pour tout y appartenant à [0,1], a + y(b-a) appartient à [a,b].
D'ailleurs, toute fonction de répartition allant de dans [0,1], sa bijection réciproque partira bien de [0,1]
Malheureusement, cette technique ne marche pas pour la loi normale car on ne sait pas calculer l'intégrale de sa fonction de densité, et donc encore moins sa réciproque...
mais c'est une méthode qui marche très bien pour beaucoup de loi...
Ici, on peut toujours essayer d'approcher sa bijection réciproque par des fonctions que l'on connait ou par des processus itératifs, mais on obtiendra pas de résultats exacts.
Je reviens juste après avec des méthodes qui permettent de contourner ce problème.
On sait que la loi binomiale, en prenant n grand permet d'approcher la loi normale.
En effet, ou X suit la loi binomiale B(n,p) et phi est la fonction de répartition de la loi normale N(0,1)
Donc si l'on tire n valeurs qui font 1 avec une probabilité p, 0 sinon, et que X est le nombre de 1, alors suit la loi normale. On retire alors plusieurs fois de suite n valeurs pour obtenir un échantillon plus complet. La aussi, il s'agit d'une approximation.
Pour obtenir un échantillon de i valeurs, il faut donc tirer nxi valeurs. Pour augmenter la précision, il faut augmenter n, mais on voit bien que ce n'est pas très rentable. Il existe encore d'autre méthodes un peu mieux.
L'algorithme de rejet permet d'obtenir des résultats exacts.
Concrètement, supposons que l'on ait une fonction f continue positive sur [a,b] et bornée par M.
On simule des valeurs choisies uniformément dans le rectangle de côté [a,b] et de hauteur M. Si cette valeur est sous cette courbe, on la garde, sinon, on continue jusqu'à obtenir une valeur sous la courbe. L'abscisse de la valeur obtenue suivra donc la loi admettant pour densité la fonction f.
C'est un peu plus compliqué dans le cas de la loi normale, puisque sa fonction de densité est non nulle sur tout mais on peut l'adapter: par exemple la méthode de Box-Muller, qui est l'une des plus efficaces pour calculer la loi normale.
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