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Divergence d une suite

Posté par
Dcamd 08-03-06 à 12:36

Bonjour, je voudrais juste un petit coup de pouce !lol Je sais qu'on dit d'une suite qu'elle est convergente lorsque un=f(n) tend vers mais comment puis-je prouver que un = n!/3n est divergente ? Parce que visiblement, on voit quelle est divergente, mais comment le montrer d'une manière un peu plus mathématique ?

Merci pour votre aide !
@+++

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 12:37

je voulais dire divergente au début lol

Posté par
Roulianere : Divergence d une suite 08-03-06 à 12:46

Bonjour,


Utilise le théorème suivant :

\fbox{\rm{Soit a>1. Si a partir d'un certain rang, \frac{U{n+1}}{U_n}\ge a, alors (U_n) diverge.}}

Nicoco

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 12:54

Je ne le connaissais pas celui-là.
Mais dès que c'est supérieur à 1, ça diverge ?

Posté par
Roulianere : Divergence d une suite 08-03-06 à 12:57

oui

Si (U_n) est à terme positif, ça voudra dire qu'à partir d'un certain rang, U_{n+1} est toujours strictement plus grand que U_n , tu vois bien que la suite ne peux que diverger

Nicoco

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:03

Oui, je vois...

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:14

Même si la propriété citée par Nicoco à 12h46 est vraie, l'explication de 12h57 l'est moins.
En effet, Un=1-1/n vérifie les conditions de 12h57, mais converge.
Je pense que la démonstration se fait plutôt en montrant par une récurrence évidente que, pour tout n >= N :
U(n) >= U(N).a^(n-N) -> +oo

Nicolas

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:19

Désolé mais la j'ai vraiment rien compris ! j'ai fait un+1/un et je suis arrivé à n+1/3 et je n'avance plus...  Nicolas, je ne vois pas du tout comment le montrer par récurrence...

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:21

(n+1)/3 désolé

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:25

Ben... (n+1)/3 est plus grand que 4/3 pour n plus grand 3.

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:29

et ça veut dire que c'est divergent ? Parce que dans l'énoncé il est dit de montrer que les suites un définies sur IN sont divergentes.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:29

Je complète :
pour tout n >= 3, U(n+1)/U(n) = (n+1)/3 >= 4/3
donc, par récurrence :
pour tout n >= 3, U(n) >= U(3).(4/3)^(n-3) -> +oo
Donc U(n) -> +oo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:30

Divergent veut dire "non convergent", donc :
- tend vers +oo
ou
- tend vers -oo
ou
- n'admet pas de limite

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:32

Comment on arrive à : U(n) >= U(3).(4/3)^(n-3) -> +oo ??? Désolé mais je comprends plus rien lol

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:34

Par récurrence à partir de U(n+1)/U(n) >= 4/3

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:36

oui mais d'où viennent les puissances (n-3) et le U(3) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:37

Cela se montre par récurrence sur n ! Tu as essayé au moins ?

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:39

Je vois pas comment faire, faut faut exrimer (n+2) en fonction de (n+1) ???

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:39

"il faut exprimer"

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:43

En Terminale, tu ne sais pas faire une récurrence ?

On a montré que, pour tout n >= 3, U(n+1)/U(n) >= 4/3 (*)

On veut montrer par récurrence la propriété :
P(n) : "U(n) >= U(3).(4/3)^(n-3)"
pour tout n >= 3

P(3) est vraie.
Supposons P(n) vraie.
D'après (*), U(n+1) >= (4/3).U(n)
Par hypothèse de récurrence, U(n) >= U(3).(4/3)^(n-3), donc :
U(n+1) >= (4/3).U(3).(4/3)^(n-3) = U(3).(4/3)^(n+1-3)
et P(n+1) est vraie.

Donc :
pour tout n >= 3, U(n) >= U(3).(4/3)^(n-3)
Donc U(n) tend vers l'infini.

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:48

Merci beaucoup pour ta patience Nicolas. J'ai appris à faire un raisonnement par récurrence en classe mais là, j'étais un peu perdu ! lol

Merci encore.

@++

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:51

Je t'en prie.

Autre méthode :

Pour tout 3$n\ge 5
5$U_n=\frac{n!}{3^n}=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}\left(\frac{4}{3}...\frac{n-1}{3}\right)\frac{n}{3}
Or les facteurs dans la grande parenthèse sont tous > 1.
Donc
5$U_n>\frac{2}{9}\frac{n}{3}=\frac{2n}{27}\to +\infty

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 13:56

Merci, ça semble plus simple car même après essais la puissance (n-3) de tout à l'heure est encore floue !lol

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 08-03-06 à 14:42

Finalement l'autre méthode n'est, je pense, pas valable du fait de l'oubli de la puissance n de 3 dans l'application numérique. Ainsi, cela devient 1/3 x 2/9 x 3/27 x ... n!/3n

édit Océane : balise fermée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 17:02

Si ton dernier message fait référence à ma seconde méthode... je ne le comprends pas. Peux-tu préciser ta remarque ? En particulier, je n'ai pas fait d'application numérique. J'ai juste minoré la grande parenthèse par 1.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 08-03-06 à 17:22

[/sup][Tentative de fermeture de balise, non ouverte par moi]

Posté par
Roulianere : Divergence d une suite 08-03-06 à 18:24

Même si la propriété citée par Nicoco à 12h46 est vraie, l'explication de 12h57 l'est moins.

l'explication de 12:57 est à relier avec le message précédent de Dcamd (12:54)  et le mien de 12:46, à savoir que si \frac{U_{n+1}}{U_n}>1 à partir d'un certain rang, et que (U_n) est à termes positifs, celà équivaut à U_{n+1}>U_n à partir d'un certain rang, et on "voit" bien alors que la suite (U_n) va diverger ( vers +\infty dans ce cas).

En aucun cas mon message de 12:57 était un cas général ...

Nicoco

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 09-03-06 à 02:58

Nicoco, il y a probablement un malentendu. La propriété que tu viens d'énoncer à l'instant (18h24) me semble fausse.
Ce n'est pas parce que \frac{U_{n+1}}{U_n}>1 à partir d'un certain rang que la suite tend vers l'infini. A nouveau, prenons l'exemple de (U_n=1-\frac{1}{n})_{n\ge 1}. C'est une suite (i) positive, (ii) vérifiant \frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{n^2}{n^2-1}>1, mais elle converge (vers 1).
Il est nécessaire que \frac{U_{n+1}}{U_n}\ge a avec a>1 pour pouvoir conclure que la suite tend vers l'infini. Et la démonstration la plus simple se fait par récurrence, en minorant par U_N.a^{n-N}\to +\infty.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 09-03-06 à 03:06

Dcamd, je reviens sur ton objection à ma seconde méthode, que je comprends pas.

Je développe ma démonstration.
Pour tout 3$n\ge 5 :
5$U_n=\frac{n!}{3^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3...(n-1)\cdot n}{3\cdot 3\cdot 3... 3\cdot 3} avec 3$n "3" au dénominateur
5$U_n=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}\frac{4}{3}...\frac{n-1}{3}\frac{n}{3}
5$U_n=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}\left(\frac{4}{3}...\frac{n-1}{3}\right)\frac{n}{3}
Or les facteurs dans la grande parenthèse sont tous > 1, donc la grande parenthèse elle-même est > 1.
Donc 5$U_n>\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}\left(1\right)\frac{n}{3}=\frac{2n}{27}\to +\infty

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 09-03-06 à 08:38

Bonjour, merci pour vos réponses, j'ai dit que je pensais la formule fausse car il n'y a pas n n mais à 2 correspond 32, c'est pour ça que je crois l'autre méthode fausse. Merci quand même.

@+++

Posté par
Dcamdre : Divergence d une suite 09-03-06 à 08:41

Ah non désolé, j'avais pas bien compris, c'est bon !lol

Posté par
Roulianere : Divergence d une suite 09-03-06 à 10:40

Effectivement Nicolas, je me suis bien planté la dessus, désolé ....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Divergence d une suite 09-03-06 à 15:30

Ca nous arrive à tous !


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