La calculatrice de l'Ile (cliquer sue "outils" dans la colonne de gauche) permet de faire des divisions sur des nombres de 10 chiffres.

Bonsoir,
Excel accepte aussi 10 chiffres.
Je note que 641*6700417= 4 294 967 297
Je pense que ces deux facteurs sont premiers (à vérifier, bien sûr).

Bonjour,

ceci dit, tester les diviseurs à la main sur la calculette (de l'ile) est assez fastidieux ...
un algorithme en ligne pour décomposer des "assez gros" nombres (tout petits pour des maths, et même tout petits pour faire de la cryptanalyse et casser RSA)
là
il donne le résultat en "0seconde" (ce nombre est trop petit et "particulier")

Ce nombre est 2³² + 1 (nombre de Fermat ),

et donc la question n'est très certainement pas de factoriser par des moyens de calculs (algorithme, calculette, quels qu'il soit) mais par un raisonnement sur les congruences.
(comme l'a fait Euler, à son époque il n'y avait pas de calculette du tout, pistes dans l'article de Wikipedia cité)

Merci beaucoup pour vos réponses !
Cela veux dire que on ne me demandera jamais ça en DS car on ne peut pas le faire avec la calculatrice ?

salut

4 294 967 297 = 23^3 × 34^4 × 72^2 × 11 × 967

Il n'y a pas besoin de calculatrice (comme déja dit, Euler 1707-1783 n'avait pas de calculatrices !)

ta compréhension de l'exo est complètement faussée par un usage addictif de cette calculatrice de sorte que "sans calculatrice" tu as l'impression qu'on ne peut rien faire

l'exo consiste à prouver par un raisonnement sur les congruences
que 2³² + 1 est divisible par 641
a moins d'être sadique, un tel exo est forcément guidé.

1) montrer que tout diviseur premier de est de la forme
donc ici que tout diviseur premier de est de la forme

etc ... (voir énoncé exact et suivre les questions dans l'ordre)

désolé de te contredire flight mais le nombre proposé n'est pas divisible par 11 (entre autres) ton calcul est faux
la décomposition correcte a été donnée par Cpierre60
4 294 967 297
somme alternée des chiffres
4 + 9 + 9 + 7 + 9 = 38
2 + 4 + 6 + 2 + 7 = 21
différence 38 - 21 = 17 n'est pas un multiple de 11, donc 4 294 967 297 non plus.

ah! désolé dans ce cas , merci d'avoir vu mathafou

En 1640 Fermat annonce qu il est persuadé que les nombres Fn = 2^2^n  +1 sont premiers :
" Je n'en ai pas la démonstration exacte mais j'ai exlu si grande quantité de diviseur par démonstrations infaillibles et j'ai si grande lumières qui établissent ma pensée que j'aurais peine a me dédire. "

1. Calculer F0 F1 F2 F3
3 ; 5 ; 17 ; 257 qui sont des nombres premiers.

2. Calculer F4 a la calculatrice. Est il premier
F4 = 65537
F4 256
Aucun des nombres premiers inférieur a 256 n'est un diviseur de F4 donc F4 est premier.

3. Quel est le plus petit facteur premier de F5 ?
F5 = 4 294 967 297
     = 641 * 6 700 417
641 est le plus petit nombre premier diviseur de F5

Et je ne comprend pas comment on trouve 641 * 6 700 417

Merci d'avance !

comme déja dit ce truc fut montré par Euler au 18ème siècle (à une époque où l'écriture mathématique était encore bien plus filandreuse que de nos jours !)

on commence par montrer (dit post précédent) que tout diviseur premier de F_n est de la forme k 2ⁿ⁺¹ + 1
ici que tout diviseur premier de F₅ est de la forme 64k + 1

ensuite on essaie (en posant à l'ancienne la division à la main)
les nombres de la forme 64k+1 sont
65 pas premier (donc on n'essaie même pas)
129 (visiblement pas premier, multiple de 3 donc on ne l'essaie pas non plus)
193 premier, donc à essayer : échec.
257 premier, donc à essayer : échec
321 pas premier (multiple de 3) on ne l'essaie pas.
385 pas premier (multiple de 5) on ne l'essaie pas
449 premier, on l'essaie : échec
513 pas premier (multiple de 3) on ne l'essaie pas
577 premier on l'essaie : échec
641 premier on l'essaie : bingo

on a donc en tout et pour tout effectué 5 divisions (à la main en les posant) avant de tomber sur
F₅ = 641 x 6700417
on ne demande pas de justifier que 6700417 est premier ou pas (il l'est)

il reste à démontrer le lemme utilisé pour réduire aussi drastiquement à 5 divisions seulement le nombre de diviseurs potentiels à essayer !

ceci se prouve en utilisant le "petit théorème de Fermat" :
si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors
a^p-1 1 [p]

soit p un diviseur premier (impair of course) de
il divise donc
ce qui veut dire que
comme 2 est premier avec p, cela veut dire (petit théorème de Fermat) que p-1 est un multiple de 2ⁿ⁺¹ CQFD.

erreur de copier coller :
il divise donc