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Diviseurs de Mersenne ( nombre premiers )
Bonjour tous !
J'ai un devoir de Math spé mais a partir de la question 3. de la partie A je sèche... Est ce que quelqu'un pourait il m'aider, je doit le finir se weekend et je commence a stressé... Merci!
Je vous donne tout l'enoncé:
On pose ici Mp=2p-1
Partie A. Exploration. Premiers résultats
1. Pour 0
p20, determiner si Mp est premier ou composé. Qu'observe-t-on quand p est composé? quand p est premier?
2. Vérifier que, pour tout entier n:
an-1 = (a-1)(an-1+an-2+...+a+1)
En deduire que (p composé)
(Mp composé)
3. On suppose désormais que Mp admet un diviseur premier d. Justifier les resultats:
a. (2p
1) (d) ; b. 2d-11 (d)
Si p est composé, tous les Mp sont composés. Mais d'apres la question A1, si p est premir, il existe des Mp composés. Ce sont leurs diviseurs qu'on va etudier de plus pres.
Partie B. Recherche
On considere un entier p premier tel que Mp=2p-1 admette un diviseur premier d. Soit I l'ensemble des entiers n tels que 2n1 (d)
1. Justifier que I n'est pas vide et qu'il admet un plus peit element p0 strictement superieru à 1.
2. En ecrivant la division euclidienne de n par p0, démontrer que tout element de I est un multiple de p0.
3. En deduire que p0=p, et que d-1 est un multiple de p.
Partie C. Conclusion
1. Demontrer finalement le resultat suivant: si d est un diviseurpremier de Mp=2p-1 il existe un entier k tel que d=kp+1.
2. Exemple 1
Soit l'entier M19=219-1=524 287
D'apres la regle enoncée a la question C1, les diviseurs premiers sont de la forme:
d=2k
19+1=38k+1, avec k
a. On donne E(
M19)=747. Combien y a-t-il de diviseur de la forme d=38k+1, avec d747?
b. Demontrer que si k pren l'une des formes 3m+1, 5m+3, 7m+2, avec m, d n'est pas premier.
c. Combien y a-t-il finalement de cas a examiner? M19 est il premier?
3. Exemple 2
Soit l'entier M23=223-1=8 388 607
Quel est le premier diviseur possible de M23 d'apres la regle de la question C1? M23 est-il premier?
bonsoir,
Partie A-1
as-tu calculé les valeurs pour p< 21 ?
que remarques-tu quand p est premier ?
( c'est juste de l'observation, aucune démo est demandée à ce niveau du pb)
(remarque la réponse se trouve dans les questions suivantes..)
D.
alors, j'ai commencer par faire un tableau avec les resultats pour p entre 0 et 20 et on eutremarquer que lorsque p est composé alor Mp est composé... et mis a par pour p=11, lorsque p est premier alor Mp est premier aussi.
Pour la 2. j'ai simplement developer l'equation de droite t en simplifiant le tout on trouve cel de gauche.
Pour la 3. j'ai juste dit que comme d/Mp alor d/2p-1 et donc d'apres la definition des congruance, on a bien : 2p1 (d)
Par contre c'est pour prouver que: 2d-11 (d) que j'ai du mal...
Et c'est a partir d'ici que c'est le foulli toutal et que je me demande si j'ai bien fait de prendre maths en specialité...
Merci
non je n'ai pas vu le theoreme de fermat... cela pourait m'aider?
j'ai avancer dans mon exo mais je bloque toujours a partir de la B.2.
quelqu'un peu m'aider?
par contre Fermat je voit pas pourquoi il peu m'aider... urtout que je l'ai pas vu en cours...
Pour la B.2, I c'est l'ensemble des n tels que 2^n=1(d)?
n=qp_0+r avec 0<=r<p_0 or p_0 est le plus petit element de I donc...
ah... ouai ah bah merci bien !!!
et pour la B.3 ? comment prouver que p=p0? et comment prouver que p/(d-1) ?
Je repete ma question I c'est bien l'ensemble des n tels que 2^n=1(d) et pas l'ensemble des n tels que 2n=1(d)?
I est l'ensemble des entiers n tels que 2n1 [d]
oui 2^n quoi...
Bon pour la B3:
p appartient à I et est donc un multiple de p0 par B2.Or p premier donc necessairement p=p0.
bonjour, j'avais le même exercice à faire et je me demande comment faire à la C1, auriez-vous une idée ? Merci d'avance
Bonjour, j'ai un exercice semblable à faire. Mais je ne trouve pas la question 3b dans la partie A. Si vous pourriez m'aider. Merci beaucoup
Bonjour,
Je me permet de remonter ce topic.
J'ai a peu prèsréussi la partie B, mais la question A3b reste un grand mystere.
Si quelqu'un peut éventuellement m'éclairer...
Merci d'avance
Salut à ceux qui vont pouvoir m'aider !
Je remonte ce sujet parce que j'ai le même exercice à faire, et que l'énoncé est mieux présenté ici que sur mon propre post.
Je suis bloqué à la première question de la partie C.
J'arrive à commencer la démonstration. Mais il me manque un petit "2" au milieu. Pouvez vous le faire apparaitre ? ^^
Merci !
Rappel de la question : 1. Demontrer finalement le resultat suivant: si d est un diviseurpremier de Mp=2p-1 il existe un entier k tel que d=kp+1
DEMONSTRATION : En fait, d'après les démonstrations précédentes :
d | 2p-1 <==> d-1 = kp
<==> d = kp + 1
Et après... A vous, si vous y arrivez ! Merci !
Bonjour,
Il est démontré que si est un diviseur premier de
avec
premier, alors
est un multiple de
Donc il existe entier tel que
J'arrive à commencer la démonstration. Mais il me manque un petit "2" au milieu.
Je ne comprends pas vraîment ta question; où est le problème ?
J'avais pas vérifié l'énoncé. Chez moi la question dit "k tel que d = 2 kp + 1"
D'où mon problème ^^
Sinon j'ai quasiment fini cet exo...
Pour demain matin, tant mieux ! ^^
Je bloque cependant encore pas mal sur les questions des exemples de la troisième partie.
-La 2a)... Facile à résoudre. Mais pourmoi la partie entière de la racine carrée de M19 n'est pas 747.
Donc est ce ue je me trompe sur les notations ? ou bien est ce une erreur ?
Sinon je vous dis les dernières questions qui me manquent :
-la C.2.c)
-la C.3.
Voilà j'en appelle une dernière fois à vous ! Merci d'avance ! @++
Pour la question 3 je viens de comprendre la simplicité. J'avais déjà trouvé 47 comme diviseur de M23(2*23*1+1=46+1=47)...
Et je bloquais sur "M23 est il premier ?"^^
Parfois c'est tout bête ce qui me retient lol...
Donc il ne reste que le c de la B.2.
Un denier coup de pouce ?
Bonsoir,
Je me permets de remonter ce post (même s'il commence à dater!).
J'ai réussi à faire la partie A, mais je bloque sur le partie B!!
2) On a bien n=po*q+r, donc 2^n2^(po*q+r)1(d), et donc (2^po)^q*2^r1(d). Mais en quoi peut-on en déduire que tout élément de I est multiple de po? On a 2^po et non pas po? Ou faut-il faire autrement?
3) Je patine pour montrer que po=p. po est le plus petit élément de I tel que 2^n1(d), donc 2^r ne peut pas être congru à d sauf si r=o, donc on a : (2^po)^q1(d). Mais cela ne nous permet pas vraiment de dire que po=p... Est-ce qu'on peut affirmer que 2^po1(d) et donc que p=po dans la mesure où c'est congru à 1 et que même si on avait 1^q ce serait égal à 1?
Ensuite pour montrer que d-1 est un multiple de p, je ne vois pas du tout...
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
B)2) oui:
avec
et
puisque
donc et
Or on sait que est le plus petit élément de
Donc et tout élément de
est un multiple de
B)3) On sait que et que
est premier.
Or les éléments de sont
et des multiples de
non premiers.
Donc
De plus d' après A)3)b),
donc , élément de
est un multiple de
Bonsoir, j'ai aussi cette activité à faire. J'ai beaucoup essayé de justifier la question 1B. Mais à la fin je trouve quelque chose de faux, je vous présente mon raisonnement.
an-1=(a-1)(an-1+an-1+...+1)
Du fait des "..." j'en ai déduit qu'il faudrait inclure une somme, j'en suis donc venu à :
an-1=(a-1)(an / (a+a²+...+an)
Considérant que 1 = an-n
En développant, je me retrouve avec
an-1=(an+1-an)/(a+a²+...+an)
J'en ai ainsi conclu qu'il y avait une deuxième formule de somme à utiliser.
Et à la fin je me retrouve avec :
an-1=(an+1-an)/an
an-1= a-1
Serait-il possible de savoir où j'ai commis une erreur ? Merci beaucoup
Bonjour,
il y a une énorme erreur là :
an-1=(a-1)(an-1+an-1+...+1) oui
an-1=(a-1)(an / (a+a²+...+an) absurde
mais que cherches tu à faire ??
y a pas de question 1b
si tu cherches à répondre à
2. Vérifier que, pour tout entier n:
an-1 = (a-1)(an-1+an-2+...+a+1)
tu as deux façons de faire ça (au moins)
ce qui est dans la grande parenthèse est la somme d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison a (lue à l'envers)
formule de cours etc
ou bien directement en effectuant le produit (distributivité)
et tu as tous tes termes qui vont s'éliminer sauf le premier a×an-1 = an et le dernier (-1)×1 = -1
le terme a×ak s'éliminant avec le terme (-1)×ak+1
c'est tout.
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