Bonjour.
Que veux-tu dire au sujet des "diviseurs élémentaires" ? Je pense qu'il s'agit de décomposer en facteurs premiers (dans ?) le polynôme M(u).
Pour cela, développes det[(u)] par rapport à la 2ème colonne. tu trouves déjà (u - 2) en facteur d'un déterminant d'ordre 3. Dans celui-ci, remplace la colonne 1 par la somme colonne 1 + colonne 3. Tu peux alors mettre à nouveau (u - 2) en facteur. Le nouveau déterminant d'ordre 3 ainsi obtenu est calculable en remplaçant sa ligne 1 par ligne 1 - ligne 3.
Cordialement RR.

Voila la question que l'on me pose :
On considère la matrice
A = (  4   0     3   -2 )
    ( -2   2    -3    2 )
    ( -3   0    -1    3 )
    (  2   0     3    0 )
- Calculer les diviseurs élémentaires au moyen des relations d'équivalences. En déduire le polynome minimal et le polynome caractéristiques de A et vérifier les valeurs de valeurs propres grâce à la trace de A.

La méthode que j'utilise est donc celle que je vous est décrite précédemment :
On part avec
M(u) =  ( u-4 0    -3    2 ) = ( uI - A )
        ( 2   u-2  3    -2 )
        ( 3   0    u+1  -3 )
        (-2   0    -3    u )
et on construit une suite de matrice équivalentes à l'aide des opérateurs élémentaires ( permutation de lignes , ajout de lignes , multiplication d'un ligne par une constante ....)
On veut diagonaliser la matrice M(u).
On commence par faire apparaitre en haut à gauche de M(u) un polynome de degré le plus petit possible de coefficient de tete = 1. ( pour la premiere on cherche à avoir 1 en haut a gauche ).
On fait apparaitre des zeros sur la ligne et la colonne de ce premier élément.
On recommence sur la sous-matrice obtenue.
A la fin on doit avoir les diviseurs élémentaires sur la diagonale.
M(u) =  ( e1(u) 0     0     0     )
        ( 0     e2(u) 0     0     )
        ( 0     0     e3(u) 0     )
        ( 0     0     0     en(u) )
Les en(u) sont les diviseurs élémentaires.
chaque en-1(u) divise en(u)

Mon problème est que je n'arrive pas à obtenir cette diagonalisation. J'aimerais savoir s'il y a une facon d'opérer avec les opérations élémnetaires pour trouver rapidement le résultat.

S'il s'agit de faire apparaître les diviseurs élémentaires sur la diagonale principale, la méthode que je te décris dans mon premier post est bonne. Par contre, le reste de ma matrice le contient de zéros que sous la diagonale. Reprenons :
1°) on remplace C1 par C1 + C4
2°)dans la nouvelle, on remplace L4 par L4 - L1.
Tu obtiens une matrice triangulaire supérieure qui te permet de "lire" les diviseurs élémentaires :
u - 2 trois fois et u + 1.
Ton polynôme caractéristique est donc : P(u) = (u - 2)³(u + 1).
Je ne vois pas comment obtenir une forme plus simple.
Cordialement RR.

Merci pour votre. J'ai bien compris votre méthode. Elle est beaucoup plus simple. De plus je n'arrive à rien avec l'autre méthode. Encore merci.
Raph