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Divisibilité
Bonjour,
J'arrive pas a résoudre cet exercice.J'ai besoin d'aide alors pourriez vous m'aider?
Voici l'énoncé:
On a 1 suite U(n)=5n²*n+n
1.Vérifier que U(n+1)-U(n)=3[5n(n+1)+2]
2.Démontrer que pour tout entier n,5n(n+1)+2 est un nombre pair.
J'ai oublié 1 question:
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n U(n) est divisible par 6.
Voila!!
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour,
On a 1 suite U(n)=5n²*n+n
1.Vérifier que U(n+1)-U(n)=3[5n(n+1)+2]
2.Démontrer que pour tout entier n,5n(n+1)+2 est un nombre pair.
U(n+1)-Un = 5(n+1)3+(n+1)-(5n3+n)
en développant
= 5n3+5n²+10n²+10n+5n+5+n+1-5n3-n
= 15n²+15n+6
= 3(5n²+5n+2)
=3[5n(n+1)+2]
cqfd
2.Démontrer que pour tout entier n,5n(n+1)+2 est un nombre pair.
Si n est pair, 5n est aussi pair et 5n(n+1)+2 est pair
Si n est impair, n+1 est pair, donc 5n(n+1) est pair, donc 5n(n+1)+2 est aussi pair.
Que n soit pair ou impair, 5n(n+1)+2 est pair
On peut aussi le montrer en disant : n pair s'écrit sour la forme 2k et on montre que 5n(n+1)+2 = 2(10k²+5k+1)
n impair s'écrit 2k+1 et on montre que 5n(n+1)+2 = 2[5(2k+1)(k+1)+1]
bonjour
n et (n+1) sont 2 entiers consecutifs , donc l un des 2 est pair donc leur produit aussi
donc 5n(n+1) aussi et5n(n+1) +2 aussi!
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n U(n) est divisible par 6.
On a montré au 1) que U(n+1)-U(n)=3[5n(n+1)+2] et au 2) que 5n(n+1)+2 est pair,
donc on peut dire que U(n+1)-U(n)= 3*2x = 6x
donc U(n+1)-U(n) est un multiple de 6
On calcule U1 = 5*13+1 = 6
donc tous les Un seront multiples de 6, puisque leur différence est un multiple de 6.
bonjour
merci d'avoir précisé le texte,bornéo a calculé la différence ,il n'y a pas de difficulté pour étudier la parité le produit de deux entiers consécutifs n(n+1) est pair pour tout entier n=>5n(n+1)+2=2m+2=2p
pour la divisibilité par 6 :u1=6 la propriété est vraie pour n=1
il reste à montrer l'hérédité
on suppose
undivisible par 6 un=6k on en déduit un+1=6k +3(5n(n+1)+2)=6k+3(2p)=6(k+p)=>un+1)est divisible par 6 il y a hérédité
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