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divisibilité dans N

Posté par
kikoking41
15-04-15 à 10:32

Bonjour
1) Montrer par récurrence que 3^(2n)-2^n  est divisible par 7
2) a) Montrer que 2^n n'est pas divisible par 7 pour tout entier naturel n.
   b) En déduire que 3^(2n) et 2^n sont premiers entre eux.

Pour 1)  et 2) a) j'ai réussi à prouver mais je ne vois pas comment déduire 2)b)
Merci de vouloir m'aider

Posté par
watik
re : divisibilité dans N 15-04-15 à 11:33

bonjour

1) 3^(2n)-2^n=9^n-2^n
on a 9=2 (7) donc 9^n=2^n (7) donc 3^(2n)-2^n=0 (7) donc 7 divise 3^(2n)-2^n

2a) 7 est premier
si 7 divisait 2^n alors 7 diviserait 2 car 7 est premier.
ce qui n'est pas possible
donc 7 ne divise pas 2^n

b)
soit p un nombre premier
si p=2 alors 3^(2n)=1 (2) et 2^n=0 (2) donc 2 n'est pas un diviseur commun de 3^(2n) et 2^n
Si p=3 alors 3^(2n)=0 (3) et 2^n=(-1)^n (3) donc 3 n'est pas un diviseur commun à 3^(2n) et 2^n
si p>=5 alors d'après le th de Fermat : 3^(2p)=9^p=9 (p) et 2^p=2 (p)
   donc 3^(2p)-2^p=9-2 (p)=7 (p)
   donc les seuls diviseurs communs à 3^(2p) et 2^p sont 7 et 1
   or d'après 2a) 2^p n'est pas divisible par 7 alors 7 divise 3^(2p)-2^p donc 7 n'est  
   pas un diviseur de 3^(2p)
en conclusion si p est premier alors 3^(2p) et 2^p sont premiers entre eux

si n est quelconque:
la décomposition de n en nombres premiers donne n=(p1^a1)...(pm^am)
tous les 3^(pi) et 2^pi sont premiers entre eux
donc 3^(2n) et 2^n sont premiers entre eux.
-----------
voila

Posté par
kikoking41
re : divisibilité dans N 15-04-15 à 15:32

mais pourquoi vous faite le cas particulier de p premier et on peut répondre tout simplement par:
si n est quelconque:
la décomposition de n en nombres premiers donne n=(p1^a1)...(pm^am)
tous les 3^(pi) et 2^pi sont premiers entre eux
donc 3^(2n) et 2^n sont premiers entre eux.
désolé j'ai pas bien compris et pour la déduction je ne vois pas ou on l'a utilisé. Merci

Posté par
kikoking41
re : divisibilité dans N 13-04-17 à 22:10

Bonsoir qui a une idee



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