Bonjour, 2ⁿ est pair, 3ⁿ est impair.
Quel est la parité de la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair ?

bonsoir : )

oui très juste. il ne faut pas oublier de traiter à part n=0.

Bonsoir, merci pour votre réponse, mais comment montrer que 3ⁿ est impair ?

en raisonnant avec les congruences modulo 2 par exemple,

Ah oui merci beaucoup!!

Et pour la 3, comme les restes peuvent être 0,2 ou 3, le chiffre des unités peut être 5,7 ou 8 ou bien 0,2 ou 3, non ?

Le chiffre des unités peut être parmis ceux que tu énonces oui, mais tous ne sont pas possibles. Il y a des cas qu'on peut éliminer. Calcule les premiers termes et remarque une périodicité sur le chiffre des unités.

Modulo 5 :
3 = -2 donc 3^n = (-2)^n
X = 2^n + (-2)^n = 2^n + (-1)^n2^n = (1 + (-1)^n)2^n
...

ah oui, je suis bête, on peut éliminer 0, 2 et 8 puisqu'ils sont pairs. Mais par contre, je n'ai pas vraiment compris cette ligne :
X = 2^n + (-2)^n = 2^n + (-1)^n2^n = (1 + (-1)^n)2^n

Je ne vois pas le but...
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?

merci beaucoup, je pense avoir compris sauf pourquoi mettez-vous [4] ? C'est modulo 5 non ?

pour comprendre, reprenons depuis la question 2)

qu'as-tu trouvé ?

J'ai fait un tableau de restes modulo 5, jusqu'à n = 10.
Si n est impair, le reste est de 0 [5]
Si n est pair, le reste est soit de 2 ou 3 [5]

On attend de toi, pour cette question, un résultat plus précis et démontré surtout.

La démarche générale est de calculer les premiers termes et de remarquer une périodicité sur les restes.
n = 0 donne X = 2 [5]
n = 1 donne X = 0 [5]
n = 2 donne X = 3 [5]
n = 3 donne X = 0 [5]
n = 4 donne X = 2 [5], on voit qu'on est revenu pareil que pour n = 0, on aurait donc un cycle de 4 entiers où les restes se reproduisent.

Pour le démontrer on raisonne modulo 4 pour n.
Commençons par noter que 2^(4k) = (2^4)^k = 16^k = 1 [5], et 3^(4k) = (-2)^(4k) = ((-2)^4)^k = 16^k = 1 [5].

Soit k un entier.
Si n = 4k (c'est à dire n = 0 [4]) alors X = 2^(4k) + 3^(4k) = 2 [5] (si n est congru à 0 modulo 4 alors X est congru à 2 modulo 5).
Ceci explique bien le fait qu'on ait trouvé que pour n = 0 on a X = 2 [5], pour n = 4 on a X = 2 [5], si on poursuivait pour n = 8 on aurait également X = 2 [5]...

Si n = 4k + 1 (c'est à dire n = 1 [4]) alors X = 2^(4k+1) + 3^(4k+1) = 2 + 3 = 5 = 0 [5].

Si n = 4k + 2 (c'est à dire n = 2 [4]) alors X = 4 + 9 = 13 = 3 [5].

Si n = 4k + 3 (c'est à dire n = 3 [4]) alors X = 0 [5].


C'est ainsi qu'on trouve les restes dans la division de X par 5 selon les valeurs de n.
* Si n = 1 [4] ou n = 3 [4] (ce qui peut se résumer à n impair) alors X = 0 [5].
* Si n = 0 [4] alors X = 2 [5].
* Si n = 2 [4] alors X = 3 [5].




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L'autre façon d'écrire X aurait juste permis de faire un peu moins de calculs.

On sait que 3 = -2 [5] d'où 3^n = (-2)^n [5],
puis X = 2^n + (-2)^n = 2^n + (-1)^n2^n = (1 + (-1)^n)2^n [5].

On peut directement écrire que si n est impair alors 1 + (-1)^n = 0 [5] d'où X = 0 [5].

Si n est pair alors X = 2^(n+1) [5].
n = 0 donne X = 2 [5]
n = 2 donne X = 2^3 = 8 = 3 [5]
n = 4 donne X = 2^5 = 2^3*2^2 = 12 = 2 [5], on voit qu'on a une périodicité sur les restes et cette périodicité se dessine pour tous les cycles de 4 entiers.
Comme on a traité ensemble les cas n = 1 [4] et n = 3 [4] (soit n impair), il nous reste à voir les cas n = 0 [4] et n = 2 [4].

Si n = 0 [4] alors X = 2^(4k+1) = 2^(4k)*2 = 2 [5].
Si n = 2 [4] alors X = 2^(4k+2+1) = 2^(4k)*2^3 = 8 = 3 [5].

Finalement, dans ce cas n pair, si n = 0 [4] alors X = 2 [5] et si n = 2 [4] alors X = 3 [5].

On obtient la même conclusion que précédemment.

merci de prendre de votre temps pour m'expliquer!
ainsi, le chiffre des unités peut être :
5 si n = 1 [4] ou n = 3 [4]
7 si n = 0 [4]
3 si n = 2 [4]
?

Oui très bien.

Si n = 0 le chiffre des unités est 2. (C'est l'unique cas où le chiffre des unités de X est 2).
Pour les n >= 1, tout se passe comme tu l'écris.

salut

Parfait, merci beaucoup pour votre aide précieuse!

de rien : ) bonne continuation : )