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divisibilite entiers
On rappelle la formule générale (n p)=n(n-1)(n-2)…(n-p+1) / p!
(n est un entier naturel)
1. Montrer que si 1≤p≤n-1 alors n est premier avec tous les termes p!
2. En déduire que, pour 1≤p≤n-1, n divise (n p).
3. Utiliser ce résultat pour établir que si x et y sont des entiers on a (x+y)n=xn+yn [mod n].
4. Plus généralement montrer, par récurrence que (x1+x2+…+xk)= x1n+x2n+…+xkn. (x1, x2, xk entiers quelconques.)
5. Utiliser ce résultat pour montrer que, pour tout entier k, n divise kn-k.
6. Donner une condition supplémentaire pour pouvoir aussi affirmer que n divise kn-1-1.
Bonjour
dire que n divise kn-k
et la meme chose que kn-k=n*L avec L
et vous pouvez faire votre demonstrantion plus facilment par recurrence et ça va tout seul
de même pour la question 2
c'est juste 2 petits indices que je peux vous donner
bonne chance
J'ai réussi les 3 premieres questions.
1. On a 1≤p≤n-1, cad p et tous les facteurs de de p! sont strictement inférieurs à n. Or n est un entier premier, donc n est premier avec chacun des facteurs de p!.
2. On a : n(n-1)(n-2)...(n-p+1)=(n p)p!
n divise n(n-1)(n-2)...(n-p+1) et donc (n p)p! Or n est premier avec tous les facteurs p!, donc n divise (n p).
3. Lorsque l'on développe (x+y)n, hormis les termes extrêmes, tous ont un facteur(n p), et sont donc divisible par et donc congrue à 0 (mod n).
Donc : (x+y)n = xn+yn (mod n).
Voilà, je pense que cela est juste. Pourriez-vous m'aider pour la récurrence, svp.
Merci d'avance
j'ai reussi aussi la suite.
5. On note chacun des x=1.
On obtient kn=1n+1n+1n (k fois)
Ce qui donne kn=k (mod n).
D'ou kn-k=0 (mod n)
Donc n divise kn-k.
6. En divisant par k on obtient n/kn-1-1. La condition est que n/k.
J'aurai donc juste besoin d'aide pour la récurrence. merci d'avance
Il faut que je prouve (x1+x2+…+xk)n=x1n+x2n+…+xkn. Dois-je faire la récurrence avec n+1?
J'arrive à (x1+x2+…+xk)n+1=(x1+x2+…+xk)n(x1+x2+…+xk)=(x1n+x2n+…+xkn)(x1+x2+…+xk).
Mais je n'arrive pas à continuer. svp
je ne comprends pas, tout le monde connait les récurrences, pourquoi ne m'aidez-vous pas
Dois-je faire la récurrence avec n+1 ou avec k+1?
merci d'avance
si c'est k+1 c'est plus facile
si c'est n+1, j'aurai besoin d'aide
merci,(meme si personne ne repond!).
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