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Divisibilité et nombres premiers
Bonjour,
Je suis actuellement en train d'effectuer un exercice en 2 parties :
La première partie a pour énoncé : soit p un nombre premier, strictement supérieur à 5
Démontrer que p^2−1 est divisible par 3, puis par 8. Je pensais relever l'identité remarquable à savoir,
p^2−1=(p−1)(p+1) Simplement je suis bloqué à partir de là, car je sais certes que la somme de (p−1)(p+1) est paire, mais je ne sais pas comment démontrer que c'est divisible par 3. J'ai souhaité écrire que p=3k+r , mais le problème est que non seulement p ne peut pas être égal à 3k, mais si j'écrit 3k+1 alors pour k=5 p n'est pas premier...
Pourriez-vous m'aider ? Merci
p²-1 = (p-1)(p+1)
Alors p-1,p,(p+1) sont trois nombres successifs.
On sait que p est premier, donc p n'est pas divisible par 3.
Donc soit p-1, soit p+1 est divisible par 3.
D'où (p-1)(p+1) divisible par 3.
..
si p=0[3] alors p²=0[3] et p²-1=-1[3] donc p=0[3] ne convient pas
si p=1[3] alors p²=1[3] et p²-1=0[3] donc p=1[3] convient .
si p=2[3] alors p²=4[3] et p²-1=0[3] donc p=2[3] convient .
donc p^2−1 est divisible par 3 si p revêt la forme p = 3k ou 3k+2
meme raisonnement pour la divisibilité par 8 en etudiant les cas
p=0[8] , p=1[8] ,...,p=7[8].
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