Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Divisibilité et PGCD
Bonjour,
Je reste bloqué sur un exercice, et je ne trouve pas de solution, donc si qqun peut m'aider 
Soit (a,b)
et p un nombre premier.
tel que PCGD(ab,a+b)=p
a. Demontrer que p2 divise a2
ici c 'est pas trés difficile,
j'ai dit que comme PGCD(ab,a+b)=p2
alors p2|a+b 
p2|a(a+b) et p2|ab
Donc p2|a(a+b)-ab=a2
b. En deduir que p|a
ici je suis bloqué car on sait par théoreme que si a|b alors an|bn
mais je n'arrive pas a demontrer la reciproque ...
c. Demontrer que PGCD(a,b)=p2 ou p
Pareil j'ai pas d'idée.
Je vous remercie d'avance.
@ bientot.
Bonjour
p²|a² or p²=p*p donc p|a²
(en effet, si (ab)|q, alors a|q et b|q)
Il faut donc démontrer que p|a² => p|a
Supposons que p|a² mais qu'il ne divise pas a. alors comme p est premier, a et p sont premiers entre eux.
Or a²=a*a
donc d'après le théorème de Gauss, comme p|a*a et PGCD(p,a)=1, p|a ABSURDE
(rappel du théorème de Gauss: pour p premier, si p|ab et PGCD(p,a)=1, alors p|b)
donc p|a
merci, j'ai compris, je n'avais pas penser a utiliser ce théoreme.
Sinon, a votre avis, comment demontrer que PGCD(a;b)=p ou p2 ?
Annuler
connectez vous