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divisibilité et récurrence
Bonjour,
Je dois prouver que 5 divise 7x6^n-2 en utilisant la démonstration par récurrence. Je connais la méthode (Initialisation, hérédité et conclusion) mais j'ai du mal à trouver le raisonnement pour prouver ça..
Si quelqu'un avait de l'aide à fournir, j'en serai ravi.
Merci d'avance.
Je dois faire de même, mais cette fois-ci je dois montrer que n(n+1)(2n+1) est un multiple de 6!
Pour montrer que 6|n(+1)(2n+1) j'ai fait ça je ne sais pas si c'est bon mais je bloque toujours pour le premier..
Montrons par récurrence que 6|(n+1)(2n+1)
Ceci est vrai pour n=0.
Supposons ceci vrai pour un certain rang n, c'est-à-dire
6 divise n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n.
Montrons que c'est vrai au rang n+1 :
on a, en remplaçant n par n+1 la quantité précédente :
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) = (n+1)(n+2)(2n+3) = 2n^3 + 9n^2 + 13n + 6.
Je réécris cela : (2n^3 + 3n^2 + n) + 6n^2 + 12n + 6.
par hypothèse de récurrence, la quantité entre parenthèses est divisible par 6. Les autres termes le sont aussi.
Donc (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) est divisible par 6.
Par récurrence, la propriété
"n(n+1)(2n+1) est multiple de 6"
est vraie pour tout n.
Oui, c'est bien !
Pour le premier, tu peux commencer par transformer la différence 7
6n+1 - 76n ; en factorisant, tu vas prouver que c'est un multiple de 5 . Utile pour l'hérédité.
La factorisation j'ai toujours du mal, mais je suppose que c'est 7x6nx1.. Ce qui me paraît étrange en fait.. x)
Merci de ta réponse CarpeDiem, pour la 1), 6(7*6n-2)+10 me sert donc pour mon hérédité si j'ai bien compris?
Oui, cela peut servir pour l'hérédité.
On peut aussi utiliser la différence ( 76n+1 - 2 ) - ( 76n -2 ) = 76n+1 - 76n = 76n( 6 - 1 ) .
J'essaie de faire ici pour voir mes erreurs!
On cherche à montrer que 5|7*6n-2
Montrons par récurrence que 5|7*6n-2
Initialisation :
pour n=0 7*6-2=40 et 5|40
La propriété est donc vraie pour n=0
Hérédité :
Supposons la propriété vraie à un rang k
soit 5|7*6k-2
Montrons que c'est vrai au rang k+1
On a donc en remplaçant k par k+1 sur la quantité précédente :
5|7*6k+1-2
On fait (7*6k+1-2)-(7*6k-2)
=7*6k+1-7*6k
=7x6k(6-1)
Et arrivé là je dois continuer un calcul je suppose, mais je ne vois pas comment cela démontre que 5 divise cette quantité.. Je dois avoir raté une étape!
Tout d'abord 60 = 1 donc pour n=0 on ne trouve pas 40 mais 5 .
Ensuite 6-1 = 5 ; je ne pensais pas avoir à le préciser...
(76k+1-2)-(76k-2) = 76k5 . D'où 76k+1-2 = (76k-2) + 76k5 qui est la somme de deux multiples de 5 .
Oui, cela peut servir pour l'hérédité.
On peut aussi utiliser la différence ( 7
6n+1 - 2 ) - ( 76n -2 ) = 76n+1 - 76n = 76n( 6 - 1 ) .oui comme j'ai fait pour le deuxième .... mais je voulais utilise une autre méthode assez classique :: faire apparaître le précédent dans le suivant ...
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