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Divisibilité et récurrence
Bonjour je n'arrive pas à faire ces exercices. Pouvez vous m'aidez svp!
C'est des exercices de spécialité maths!
Exo 1 :
Soient a et b des entiers. Montrer que, si 3 divise a^3+b^3, alors 3 divise (a+b)^3
Exo 2 :
Résoudre l'équation suivante : x²=4y²+3, avc x et y des racines
Exo 3 :
a) Développer : (x-y)(x²+xy+y²)
b) Déterminer les couples entiers (x,y) solutions de l'équation : x^3-y^3=8.
Exo 4:
Montrer que, pour tout naturel n:
7^2n + 3 est divisible par 4
(aide: L(hypothèse de récurrence s'écrit : 7^2n +3=4k avec k entier. exprimer alors 7^2(n+1) en fontion de 7^2n.
Exo 5 :
Montrer que, pour tout naturel n: n^3+11n est divisible par 6.
Exo 6 :
Montrer que, pour tout naturel n: 3^2n -2^n est divisible par 7.
ah ben j'ai cherché pour le 1er j'ai pris des nombre au hasard et je ne trouve pas que a^3+b3 divisé par 3 est égale à (a+b)^3 divisé par 3 !
:?on sait ( ou on ne sait pas!!) que ( a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3 =
a^3 + b^3 + 3a²b + 3ab²
= a^3 + b^3 + 3 ( a²b + ab² ) et ... tout s eclaire si a^3 + b^3 est un multiple de 3 , a^3 + b^3 + 3 ( a²b + ab² ) AUSSI
a^3 +b^3 divisiblepar 3 donc il existe un entier k tel que a^3 +b^3=3k
( a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3
=a^3 +b^3 +3(a²b + ab² )
=3k+3(a²b + ab² )
=3(k+a²b + ab²)
ah ben j'ai cherché pour le 1er j'ai pris des nombre au hasard et je ne trouve pas que a^3+b3 divisé par 3 est égale à (a+b)^3 divisé par 3 !
Bien sûr. Ce que tu as écris signifie :
(a^3+b^3) / 3 = (a+b)^3 / 3
ou encore : (a+b)^3 = a^3+b^3
Bien sur que c'est faux. L'énoncé te demande de montrer que
si 3 divise a^3+b^3, alors 3 divise (a+b)^3
de ton aide2)
Exo 2 :
Résoudre l'équation suivante : x²=4y²+3, avc x et y des racines
Je ne comprends pas l'énoncé : n'est-ce pas plutôt x et y entiers ?
Nicolas
3)
Dans ce cas,
x^3-y^3 = 8=8
<=> (x-y)(x²+xy+y²) = 8
<=> (x-y)(x²+xy+y²) = 1*2*2*2
Je te laisse regarder chacune des possibilités.
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