Ton père a raison, cette démonstration n'est pas du programme de cinquième. Et ton raisonnement est juste

Salut.

Il suffit de reprendre le même raisonnement avec un nombre quelconque de chiffres au lieu de 4 chiffres.

Si A s'écrit avec 4 chiffres, alors on peut l'écrire A=abcd comme tu l'as fait.

De manière générale, s'il s'écrit avec N chiffres (avec N un entier quelconque), alors on peut noter :
A = a_N...a₃a₂a₁a₀

Qu'on peut encore écrire : A=a_N*1000....0000 + ... + a₃*1000 + a₂*100 + a₁*10 + a₀

Donc A = (a_N + ... + a₁ + a₀)+(999...99*a_N + ... + 99*a₂ + 9*a₁)

Et on refait la même discussion.

Voilà. Ça se montre de manière plus formelle lorsqu'on a des outils mathématiques plus puissants. Ça me paraît quand même plutôt difficile de démontrer ça en 5ème. Bravo pour le raisonnement, il est astucieux en effet

merci pour la généralisation à N, c'est pourtant un exercice du manuel ... bon on verra demain avec la prof.
Pour la divisibilité par 2, je pense utiliser la même méthode en écrivant que abcd = (2a + 2b + 2c + 2d) + (998a + 98b + 8d) et comme on sait que tout nombre se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8 est divisible par 2 et on a aussi a + b + c + d en simplifiant par 2, donc on arrive au même raisonnement.

Bonsoir ,

Je ne comprends absolument pas ce que tu cherches à démontrer.
qu'un nombre est divisible par deux si et seulemlent si la somme de ses chiffres est divisible par 2 ? c'est archi faux !
exemple 14 divisible par deux, somme des chiffres = 4+1 = 5 pas divisible par deux
autre exemple 321 pas divisible par deux, somme des chiffres = 3 + 2 + 1 = 6 divisible par 2.

l'erreur dans ton raisonnement est là à mon avis :

En effet je me suis emballé avec ma démonstration sur la divisibilité par 3, pour 2 un contre exemple suffisait à démontrer que l'énoncé était faux, tant pis ...
Merci.

En fait, ce critère de divisibilité à propos de la somme des chiffres n'est pas réservé que pour le 3. En effet, le même critère est valable pour la divisibilité par 9, autrement dit un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. On pourrait se demander si c'est aussi vrai pour 6. Eh bien c'est faux. Par exemple : 12 est divisible par 6 et pourtant 1+2=3 qui n'est pas divisible par 6.

Voici comment reconnaître les divisibilités classiques :

-Divisible par 1 dans tous les cas
-Divisible par 2 si le dernier chiffre est divisible par 2 (donc si le dernier chiffre est pair)
-Divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3
-Divisible par 5 si le dernier chiffre vaut 0 ou 5
-Divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9
-Divisible par 10 si le dernier chiffre vaut 0

Il existe évidemment des critères de divisibilité pour d'autres nombres, mais légèrement moins connus :

-Divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4
-Divisible par 8 si les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8

-Il n'y a pas de critère simple qui soit propre au 6. Du coup il faut voir 6 comme étant 3*2, donc un nombre est divisible par 6 si la somme de ses chiffres vaut 3 et si son dernier chiffre est pair.
-Il n'y a pas de critère simple pour déterminer la divisibilité par 7.

Bien sûr quand je dis qu'il n'y a pas de critère simple, je ne dis pas qu'il n'y en a pas du tout Et évidemment on peut trouver des critères pour des tas d'autres nombres autres que ceux de 0 à 10.

Bonjour,

Il y a aussi la divisibilité par 11 qui est la somme des chiffres de rang pair moins la somme des chiffres de rang impair.

par exemple : 10395
chiffres de rang pair 1 + 3 + 5 = 9
chiffres de rang impair 0 + 9 = 9
différence 0 le nombre est divisible par 11

Ce coup de la somme des chiffres fonctionne dans n'importe quelle base b
par exemple en base b=8 (octal) un nombre est divisible par 7 (b-1) si la somme de ses chiffres l'est, et pour la somme alternée c'est le critère de divisibilité par b+1 = 9 (9 s'écrit 11 en octal !!)