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divisibilité par 3 de x^3+y^3+z^3
bonjour,
J'aurai besoin d'un conseil ou d'une technique pour résoudre une question de mon dm que voici:
Démontrer que si x^3+y^3+z^3 est divisible par 9 alors l'un au moins des trois nombre x,y,z est divisible par 3.
J'ai par ailleurs prouvé dans les question précédentes que n^3-n est multiple de 3 par récurrence j'ai d'ailleurs un problème car n est dans Z est que la récurrence ne s'applique que dans N.
De même j'ai montré que si le trinôme de l'exercice est multiple de 3 alors x +y+z l'est aussi en faisant la somme des congruence x^3-x;y^3-y et avec z pour obtenir (x^3+y^3+z^3)-(x+y+z) congrue a 0 modulo 3 .
Voila pouvez vous me conseiller s'il vous plait?
Bonsoir
pas besoin de récurrence pour montrer que est multiple de 3 : c'est le produit de trois nombres consécutifs, forcément un des trois est congru à 0 modulo 3, un est congru à 1 et le dernier à 2 ...
il suffit de distinguer les trois cas : si n congru à 0 modulo 3, terminé, si n congru à 1 modulo 3, alors n-1 congru à 0 modulo trois, terminé, si n congru à 2 modulo 3 alors n+1 congru à 3 donc à 0 modulo 3, dans tous les cas le produit (n-1)n(n+1) sera congu à 0 modulo 3.
merci c'est en effet beaucoup plus simple.
Mais pour la question du trinome est ce que quelqu'un pourrai me donner une technique pas forcement la reponse .Ce qui me pose probleme c'est le un au moin des 3 entier x y z e alors je pense que je dois presenter en faisant un tableau avec les nombre 9k 9k+1 ... 9k +8 et leur congruence modulo 9 et montrer que ds chaque cas un au moin des entier relatif est multiple de 3 ou ce serai plus avec modulo 3.
avec ce que tu as déjà fait, tu dois pouvoir montrer assez facilement que x+y+z est multiple de trois
reste à voir ce que ça donne si ni x ni y ni z ne l'est ....
j'ai en effet deja prouvé que x +y+Z est multiple de 3 mais lorsque x^3+y^3+z^3 l'est aussi .
Là je dois montrer que l'un au moins des x y z est multiple de 3 lorsque x^3+y^3+z^3 est multiple de 9.Et c'est le fait que l'un au mon et pas tous sont multiple de 3 qui me pose problème.
Bonjour,
Nous pouvons peut-être utiliser le fait que:
Egalité connue aussi sous le nom de "identité de Lamé",
Alain
Alors je dit que (x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)≡0(9)
Ce qui signifie que (3y+3x)(y+z)(z+x)≡0(9) et on constate les multiple de 3 . Mais il s'agit de (x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3) alors je dois faire quoi avec (x+y+z)^3 ?
Merci mais j'ai finalement décidé de le prouvé par l'absurde car j'ai du mal à comprendre avec l'identité de lamé .
J'ai supposer que aucun des entier x y z n'est divisible par 3 ils s'écrivent donc soit 3k+1 soit 3k+2 et (3k+1)^3=1mod.9 ET (3k+2)^3=8mod.9 or la somme des restes avec ces 2 possibilité n'est jamais multiple de 9 ce qui est absurde.
Pensez vous que c'est bon?
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