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Divisibilite par 5

Posté par
Onyxandro
24-04-19 à 03:13

Bonsoir, salut a tous
Soit n un entier superieure a 1
1) Montrer que n(n⁴ − 1 ) est divisible par 5
2) Montrer que n(n⁴ − 1 ) est divisible par 30
3) Montrer que si n est impaire alors n(n⁴ − 1 ) est divisible par 240
je prefere que vous m'explique l'enonce par une methode different que la congurence ,et merci a votre aide

Posté par
Sylvieg
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 07:33

Bonjour,
Factorise  n4-1 .

Posté par
naghmouch
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 07:34

Bonjour.
Par récurrence :
On suppose que  :  n5 - n est divisible par 5
Alors :
(n+1)5 - (n+1) =   ....

Posté par
Sylvieg
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 07:47

Bonjour naghmouch,
Oui, c'est mieux par récurrence  

Posté par
naghmouch
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 07:51

Bonjour Sylvieg.
idée pour 2) ?

Posté par
Sylvieg
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 08:04

Oui, pour 2), factoriser fonctionne.

Posté par
carpediem
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 09:44

salut

n(n^4 - 1) = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n^2 - 4) + 5(n - 1)n(n + 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

or le produit de p nombres consécutifs est multiple de p

ce qui répond immédiatement aux questions 1/ et 2/

et la trois s'en déduit quasi immédiatement ...

Posté par
Onyxandro
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 12:43

Bonjour sylvieg , oui je le factorise et j'arrive a n( n + 1)( n-1 )( n^2  +1 ) , et je bloque ici ,E'est que tu peut m'explique la suite, et merci a votre aide

Posté par
Onyxandro
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 13:05

Oh, merci carprediem je ne pas vu ta premiere phrase

Posté par
mathafou
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 13:06

Bonjour,

lire le message de carpediem peut être !!!

sinon cela se fera par une "séparation de cas" :
ou bien n est multiple de 5 et alors le facteur n prouve que n( n + 1)( n-1 )( n^2  +1 )  est multiple de 5
ou bien il est un multiple de 5 + 1 et alors le facteur n-1 etc
ou bien etc .. (5 cas à traiter)
au besoin écrire n = 5k+ reste et développer n²+1

et ensuite pareil pour les multiples de 2 et de 3
multiple de 30 = multiple de 2, de 3 et de 5

enfin : multiple de 240 = multiple de 3, de 5  et de 16

Posté par
mathafou
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 13:07

bon, OK messages croisés

Posté par
Sylvieg
re : Divisibilite par 5 24-04-19 à 17:03

Bonjour,
Je suis de retour  
Les questions 1)  et 2) étant séparées, je pensais récurrence pour la divisibilité par 5, puis factorisation pour les divisibilités par 2 et 3.

Pour 3), avec  n( n + 1)( n-1 )( n2  +1 )  on trouve facilement la divisibilité par 16 quand  n est impair.

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