Bonjour,

factoriser le plus possible (avec a² - b²)

ensuite selon que n est un multiple de 5, un multiple de 5 plus 1, un multiple de 5 plus 2, etc (5 cas)
prouver que à chaque fois l'un au moins des facteurs est un multiple de 5
il y a trois cas totalement évidents, et reste donc deux cas et un seule facteur à vraiment étudier dans ces deux cas...

C'est posé souvent, si tu as la flemme, regarde là : multiple de 5
c'est même divisible par 10 (voir Divisibilité par 10)

et même par 30 ...

bonjour

1) Avec les congruences:
n(n^4-1)=n(n²-1)(n²+1)
        =(n-1)n(n+1)(n²-4) (5)   ; car 1=-4 (5)
        =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)  (5)
produit de 5 entiers qui se suivent l'un d'eu est multiple de 5
de plus il est divisible par 2 et par 3
comme 2 3 et 5 sont premiers entre eux deux à deux donc n(n^4-1) est divisible par 30=2*3*5

2) avec le théorème de Fermat
si tu as fait le théorème de Fermat tu as
si 5 divise n alors 5 divise n(n^4-1)
si 5 ne divise pas n alors 5 est premier avec n donc 5 divise n^(5-1) -1=n^4-1
donc qq soit n : 5 divise n(n^4-1)

ou sans même tout ça (ça revient "un peu" au congruences mébon)
tout nombre entier n peut s'écrire 5k, ou 5k1 ou 5k2
la factorisation en n(n^4-1) = n(n²-1)(n²+1) suffit alors
le facteur n est multiple de 5 si n = 5k
le facteur n² - 1 est multiple de 5 si n = 5k1 (développement de ab)
le facteur n² + 1 est multiple de 5 si n = 5k2 (idem)

(même chose pour la divisibilité par 2 et 3, mais qui est en fait "évidente" par le produit des termes n(n+1)(n-1))