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Niveau autre
multiple de 5
Posté par musfad64 (invité)
Bonjours, chers mathématicients je suis à la recherche de résolution de l'exercice suivant:
n est un entier naturel
montrer que n (n^4 - 1 ) est un multiple de 5
et merci beaucoup
édit Océane : merci de poser tes questions sur le forum adéquat
Posté par musfad64 (invité)démonstration de multiple de 5
Bonjour je suis un élève et je cherche la solution de l'exercice suivant:
n est un entier naturel
montrer que n (n^4 - 1 ) est un multiple de 5
Bonjour.
Je vois que tu es nouveau sur ce site, alors bienvenue. Attention, tu n'as pas le droit de poster plusieurs fois ton sujet (cela s'appelle du multipost).
Pour en venir à ta question, voici la méthode.
1°) Factorise n(n4 - 1)
n(n4 - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) : (E)
2°) Etudie tous les cas
¤ n = 5p : le premier terme de (E) sera multiple de 5
¤ n = 5p + 1 : le deuxième terme de (E) sera multiple de 5
¤ n = 5p + 2 : fais le calcul, le quatrième terme de (E) sera multiple de 5
¤ n = 5p + 3 : même chose que le cas précédent
¤ n = 5p + 4 : le troisième terme de (E) sera multiple de 5.
A plus RR.
Bonjour
Des solutions claires ont été données.
Puis-je me permettre d'en proposer une autre?
Partant de la mise en facteur connue:
et du fait que le produit de p nombres entiers
consécutifs est divisible par p ,je connecte avec:
Reste alors à montrer que:
...
Alain
Bonjour.
Une autre méthode 'plus terre à terre' si je puis me permettre. On sait qu'un nombre est divisible par 5 (donc multiple de 5) si son chiffre des unités vaut 0 ou 5. Si n est divisible par 5, n(n4+1) l'est aussi. Considérons les autres cas. En tenant compte que le chiffre des unités d'un produit est le chiffre du produits des unités de chaque facteur, on aura en notant par a le chiffres des unités de n et par b le chiffres de n4-1 et ne faisant apparaître que le chiffe des unités de a2, a3 et a4:
a=1 
a2: 1 a3: 1 a4: 1 
b=0
a=2 a2: 4 a3: 8 a4: 6 b=5
a=3 a2: 9 a3: 7 a4: 1 b=0
a=4 a2: 6 a3: 4 a4: 6 b=5
a=6 a2: 6 a3: 6 a4: 6 b=5
a=7 a2: 9 a3: 3 a4: 1 b=0
a=8 a2: 4 a3: 2 a4: 6 b=5
a=9 a2: 1 a3: 9 a4: 1 b=0
Ainsi dans les autrese cas, le chiffres des unités de n4-1 est 0 ou 5 ce qui prouve que n4-1 est un multiple de 5.