bonsoir : )

4 = -1 [5],

salut , en fait j'ai résolu le problem il suffit que n = 2k avec  k .

je voudrais votre aide sur cette question ( car le probleme posé ci dessus fait parti d'un long exo ) :

démontrer l'existence  d'un entier  naturel non nul   n  tel  que  :  4ⁿ1 [p]   avec  p  est un nombre premier différent de 2 .

est-il possible d'utiliser un raisonnement par récurrence on suppose l'existence de n et on démontre l'existence de n+1  ??

Pas de raisonnement par récurrence car si on suppose l'existence d'un n qui est premier, alors n est forcément impair ce qui imposera que n + 1 est pair et donc le raisonnement tombe à l'eau car un entier pair (excepté 2) n'est pas premier.

Il s'agit plutôt d'évoquer le petit théorème de Fermat.

justement dans l'exo il y'avait une petite preface sur le petit theorem de Fermat.

d'abord dans les question precedentes j'ai trouvé  :

4ⁿ 1 [3]

4^4k 1  [17]

4^2a   1 [5]      (a,n,k )


et par le petit théorem de Fermat je sais que : 4^p 4 [p]

mais je ne sais pas comment continuer .

à propos de ton post de 19:03 ce n'est pas n qui est premier  , alors est-ce que la recurence tiens la route ou bien on continue avec Fermat .

Que disait la préface ?

Le petit théorème de Fermat peut s'énoncer ainsi :
Soit p un nombre premier. Pour tout entier a non multiple de p, a^(p-1) - 1 est divisible par p.

j'ai trouvé , on peut directement utiliser la congruence : 4*(4^(p-1)-1)=0 [p] donc

4= 0[p]  ou  4^(p-1) - 1 = 0 [p ]  et vus que p est différent de 2 alors forecement  :

4^(p-1) - 1 = 0 [p]  -> 4^(p-1) = 1 [p]   et le n dont il faut demontrer l'existence c'est p-1 .

oui c'est bien ça : )

comme 4 et p sont premiers entre eux, 4 = 0 [p] est impossible, d'où 4^(p-1) - 1 = 0 [p].

question suivante   :  soit   "b"   le plus   petit  nombre naturel  tel que  4 ^b 1 [ p ]   et soit   " r"   le reste de la division euclidienne de n par b  .

1-demontrer que 4^r 1 [p] . déduire que r = 0

2-demontrer que 4ⁿ-1 est divisible par p si et seulement si  n est un multiple de b.

3-deduire que b divise p-1 .

pour la n° 1 il faut que je démontre que :  4 ^n-k.b 1 [p] .

en sachant que  : 4^n = 1 [p]  ....1

et : 4^b = 1 [p]   ->  4^(-kb) = 4^(-k) [p]  ....2

en multipliant 1 par 2  :  4^(n-kb) = 4^(-k)   [p]

reste à demontrer que 4^(-k) = 1 [p]

Pour ces questions que tu as écrites, on sait seulement deux choses :
a) b est le plus petit entier naturel satisfaisant 4^b = 1 [p],
b) r est le reste dans la division euclidienne de n par b, soit n = kb + r, avec k un entier,

donc 4^r = 4^(n-kb) comme tu l'as écrit, ensuite tu dois plutôt regarder du côté des propriétés sur les puissances,

d'abord , on a 4^(n-kb) = 4^(n).4^(-kb) = 4^(n).(4^b)^(-k)  [p]

et vus que   :  4^n = 1 [p]   et   4^b = 1 [p]  alors : 4^(n).(4^b)^(-k) = 1  [p]  .

oui très bien : )

bon en fait je me rends compte d'un souci, c'est que qu'on n'a pas de propriété qui permet de traiter des puissances négatives,

donc la réponse est à rédiger plutôt de cette façon,

sachant que 4^n = 1 [p] et n = kb + r,
on peut écrire que 4^(kb+r) = 1 [p] soit (4^b)^k*4^r = 1 [p]
or 4^b = 1 [p] d'où 4^(b)^k = 4^(kb) = 1 [p] puis 4^r = 1 [p] comme voulu,

de cette façon on n'a pas de puissance (-k) qui dérange,

ok ?

.

et vus que :  r < b < n  et que  b est le plus petit entier naturel tel que 4^b = 1 [p]   alors forcement  r  = 0.

oui très bien : )

on écrira plutôt 0 <= r < b, par définition d'un reste dans la division euclidienne, (au lieu de r < b < n)

et puisque b est le plus petit entier satisfaisant 4^b = 1 [p] on effectivement que r = 0

mais attention b peut être égal à n, l'énoncé ne nous dit pas que n est plus grand que b strictement,

pour la n°2  

on suppose que n=bk  alors  :  4^(b) = 1 [p]  -> [4^(b)]^(k] = 1^k = 1 [p]
                                                                                                 -> 4^(bk)= 4^(n) = 1 [p]

on suppose que 4^(n) -1 =  4^(bk+r) - 1 = 0 [p]

et vus que  r = 0   alors :  4^(bk) - 1 =0 [p]   donc   n =bk   donc n est un multiple de b .

conclusion  :  4^(n) - 1 est divisible par p si et seulement si n est un multiple de b.

oui : )

bonsoir ,  
désolé pour le retard ,

pour la derniere question je ne vois pas trop comment déduire que  "b" divise "p-1"  ,

je sais que :    b (  b^(p-1)  -  1  ) =  0  [p]    ->  b  =  0 [p]     ou    b^(p-1)  =  0 [p]

et aussi  :   n =  k.b  ,     4^(kb)  = 4^(b)  =  1  [ p]   .

mais je ne sais pas comment assembler le tout  ??

Tout simplement, d'après ce qu'on a vu, 4^(p-1) = 1 [p], d'où, d'après ce qui précède, p - 1 est un multiple de b.

je ne vois pas comment ?  , d'un coté on a   :   4^(b) =1  [p]
                                                  et d'un autre coté   :  4^(p-1) = 1 [p]

je ne comprends pas pourquoi  p-1  est un multiple de b  ?

ok , la c'est très clair .

Merci beaucoup pour ton aide  .

je t'en prie : ) bonne continuation : )