Bonjour.

Tu as donc :

, avec R(X) = 0 ou deg(R) < 2.

Donc, R est forcément du type R(X) = aX + b.

En remplaçant X par i puis par -i, tu obtiens un système te permettant de trouver a et b.

A plus RR.

Salut robin07

Notons :

P(X) = Xⁿ+1

Q(X) = X²+1

En faisant la division euclidienne de P par Q, on obtient :

P(X) = M(X).Q(X) + R(X)  avec  deg(R) < deg(Q) = 2

Donc R est au plus de degré 1 et donc R(X) = aX + b

d'où :

P(X) = M(X).Q(X) + aX + b

soit :

Xⁿ+1 = M(X).(X²+1) + aX + b

Ensuite il suffit de substitué à X les valeurs i et -i qui correspondent aux racines de X²+1.

Tu obtiens alors un sytème de 2 équations à 2 inconnues à résoudre en a et b.

Et suivant les différentes valeurs de n, les restes seront différents ...

A+
Romain

merci mais j'ai été justement jusqu'à là (mon prof m'a aidé un peu) , le probleme c'est le systeme . est ce que vous pouvez le rediger de manierre propre .
pas la peine d'induquer la dependance de la parité ou l'imparité c'est dejas fait . merci

merci à toi aussi romain , mais est ce que tu peux le rediger proporement parce que moi je trouve un truc vraiment bizar !

Tu soustrais, cela te donne a. Tu ajoutes, cela te donne b. Sauf erreur de calcul :





Ensuite, tu distingues les cas : n = 4k, n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k +3.

A plus RR.

ok merci , juste deux petits derniers trucs , les cas n=4k ,n=4k+1 ... correspondent en fait aux cas ou n est pair (donc deux sous cas ) et au cas ou n est impaire (donc deux autres sous cas ) c'est ça .
cette question n'a rien à avoir avec l'exo , est ce que vous pouvez me dire combien fait le discrminent de (X^2)-2cosaX+1 (avec les racines ) , si j'arrive pas parce qu'il me monque certainesnotions de trigo (je crois ) .

Pour les cas à étudier, cela vient du fait que le complexe "i" a pour période 4 (i⁴ = 1).

Pour le discriminant, utilise cos²a + sin²a = 1.
= (-2cosa)² - 4 = 4cos²a - 4 = -4(1 - cos²a) = -4sin²a.

A plus RR.

d'accord , mais je suppose donc qu'il y a pas de racines pour dans R !?

Re

Les cas donnés par Raymond correspondent au différentes valeurs que vont prendre iⁿ

En effet :

i^4k 1 [4]

i^4k+1 i [4]

i^4k+2 -1 [4]

i^4k+3 -i [4]

Pour ton autre question :

je te rapelle que 1 problème = 1 topic

Enfin bon :

x²-2cos(a)x+1 = (x-cos(a))²+1-cos²(a) = (x-cos(a))²+sin²(a)

Or on peut écrire :

sin²(a) = -(i.sin(a))²

d'où :

x²-2cos(a)x+1 = (x-cos(a))²-(i.sin(a))² = (x-cos(a)-isin(a))(x-cos(a)+isin(a))

Soit :

x²-2cos(a)x+1 = (x-e^ia).(x-e^-ia)

A+
Romain

et aussi une chose , i^(4k)=1 , i^(4k+1)=i c'est ça ou je me tremps completement (et sa fait quoi pour 4k+2 et +3)

merci du fond du coeur , je pense que j'ai compris la leçon grace à vous

Ma notation ne veut rien dire :

i^4k = 1

i^4k+1 = i

i^4k+2 = -1

i^4k+3 = -i

A+
Romain