salut

et si tu essayais de calculer 5ⁿ pour les premières valeurs de n .... puis la division euclidienne pour voir la tête du reste ....

bjr,
pour n=0 => 5^0 =1 [13]
pour n=1 => 5 =5[13]
pour n=2 =>  5^2=12[13]
pour n=3 => 5^3=8[13]
pour n=4 => 5^4 =1[13]
donc la division euclidienne de 5^n sur 13 est périodique de période 4

D'accord merci j'ai calculer les premières puissances mais je n'arrive pas à  le démontrer calfuler les puissances ca permet de conjecturer comment demontrer svp

Bonjour !
Tu peux élever les deux membres d'une congruence à une même puissance entière car si et tu as aussi .

Il suffit de savoir que où

Comment on fait ca je n'ai jamais fait svp

Help me please

....

Merci mais enfaite je voudrais savoir comment on fait avec un tableau svp ?

salut

on peut aussi voir en fonction de la parité de n , si n =2k alors  5^(2k)= 25^k  comme 25 =(-1)[13]

alors 5^(2k) = (-1)^k[13].

Bonsoir enfaite je voulais dabord conjecturer les restes et ensuite le prouver avec les congruences on peux fairenc comment svp

si n = 2k+1  comme  5^(2k).5 = (-1)^k.5[13].   alors  5^(2k+1) = (-1)^k.5[13]

Merci mais je deduis quoi de ca je ne comprends pas trop

On reprend calmement :
L'important est d'avoir trouvé que 5 ⁴ 1 mod. 13
Ensuite il faut appliquer les règles sur les puissances :
5( ⁴) ^k 1 mod. 13 donc 5 ^{4 k} 1 mod. 13

5 ^{4 k}   5 5 mod. 13 donc 5 ^{4 k + 1} 5 mod. 13

5 ^{4 k + 1}   5 5 ² mod. 13 donc 5 ^{4 k + 2} 12 mod. 13

5 ^{4 k + 2}   5 5 12 mod. 13 donc 5 ^{4 k + 3} 8 mod. 13

Soit n un nombre entier quelconque, dans la division euclidienne de n par 4, il existe un entier r compris entre 0 et 3 tel que n = 4 k + r
Si n = 4 k comme 5 ^{4 k} 1 mod. 13, le reste de la division euclidienne de 5 ⁿ par 13 est 1

Si n = 4 k + 1 comme 5 ^{4 k + 1} 5 mod. 13, le reste de la division euclidienne de 5 ⁿ par 13 est 5

Si n = 4 k + 2 comme 5 ^{4 k + 2} 12 mod. 13, le reste de la division euclidienne de 5 ⁿ par 13 est 1

Si n = 4 k + 3 comme 5 ^{4 k[ + 3/sup] 8 mod. 13, le reste de la division euclidienne de 5[sup] n} par 13 est 8.

Merci beaucoup Cherchell !! Bonne journée.

Poir 4k+2 c'est pas 12 plutot ?