Bonjour,

Si on veut être propre et qu'on parle de reste dans la division euclidienne par n, alors ce reste doit être compris entre 0 et n-1. Donc dans ton cas, le reste est 12, pas -1.

Maintenant, si on parle de congruences plus largement, on peut tout à fait se permettre de dire qu'il s'agit de -1. D'ailleurs, derrière ces opérations de congruence se cachent des structures où -1 et 12 sont exactement la même chose... même s'ils ne se notent pas pareil.

Oui j'ai trouvé ca assez intriguant.

dans mon cours il est écrit que 0\<r<|b|

et pourtant ma calculette (ti nspire cx cas) m'écrit : "remain(-1,13)=-1"

C'est ton cours qui a raison.

Le « problème » de ta calculette vient du calcul qu'elle fait pour obtenir le reste. En l'occurrence, remain(A,B) renvoie le résultat de l'opération A-B*intDiv(A,B), où intDiv(A,B) est la partie entière de A/B.
Dans ton cas, remain(-1,13) = -1-13*intDiv(-1,13)=-1-13*0=-1.

Si on fait des calculs, à vrai dire, ça n'a pas vraiment d'importance qu'elle te renvoie -1 ou 12, pour peu qu'on puisse prévoir ce que la calculatrice va nous sortir.
Maintenant, si on fait des démonstrations théoriques, c'est important, parce qu'imposer que le reste soit compris entre 0 et b-1, ça permet de pouvoir écrire de manière unique n'importe quel nombre sous la forme b*q+r.

Autrement dit, la distinction est vraiment importante quand on parle de divisions euclidiennes.
Mais justement, les congruences sont utiles parce qu'elles permettent de s'affranchir de devoir toujours écrire des divisions euclidiennes (ce qui rend bien plus souples les calculs/rédactions)... et à partir de là, écrire -1 ou 12, ça n'a plus beaucoup d'importance.